Erään oppilaitoksen ensimmäiselle luokalle oli tulossa 60 oppilasta. Oppilaat päätettiin jakaa kolmelle luokalle A, B ja C. Koska ei ollut päätetty mitään kriteerejä, miten jako luokkiin tehtäisiin, päätettiin kokeilla aluksi sellaista menettelyä, että oppilaat saavat itse asettua 1-3 jonoon osoitetuille paikoille sen mukaan mille luokalle haluaisivat. Monellako eri tavalla järjestäytyminen jonoihin voisi tapahtua? Erilaisia järjestyksiä pidetään aina eri tapauksina. Tarkkaa vastausta halutaan.
Jonoon järjesty!
RiikkaCombinato
12182
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Tuossa kannattaa laskea ensiksi kunka monella tapaa 60 oppilasta voidaan sijoittaa yhteen jonoon. Laske sitten, kuinka monella tavalla 60 oppilaan jonon väliin voidaan laittaa kolme kaksi aitaa.
Ajatellaan vaikkapa seuraavasti:
Ensin oppilaat laitetaan yhteen jonoon. Erilaisia järjestyksiä on 60! Sitten jono katkaistaan 3 yhtäsuureen osaan. Kukin osa voi keskenään olla 20! eri järjestyksessä. Jos oppilaiden järjestystä luokassa ei oteta huomioon, on vaihtoehtojen määrä silloin
60! / (20!)^3.
Voidaan ajatella näinkin:
Esin valitaan A-luokka. Se voidaan tehdä C(60,20) eri tavalla. Sitten vallitaan lopuista 40 oppilaasta B-luokka. Siihen on C(40,20) eri mahdollisuutta. Loput menevät C-luokkaan. Jokaista A-luokan valintaa kohti on siis C(40,20) erilaista valintaa B-luokkaan. Tulo
C(60,40) * C(40,20) on vaihtoehtojen määrä.
Tarkistus: C(60,20) = 60! / (20! * 40!). Samoin C(40,20) = 40! / (20! * 20!). Niiden tulo on 60! / (20!)^3.
Minusta tehtävänannosta ei voi olettaa, että kullakin luokalla olisi 20 oppilasta vaan pitäisi tarkastella kaikkia jakoja A B C=60, min(A,B,C)>0.
Tehtävänanto on aika epäselvä. Ei kai esim. luokkakoot 1, 1, 58 ole järkeviä. Tuosta Kömpinaation ratkaisusta, jos jaetaan 6:lla saadaan erilaiset 20 oppilaan luokkakombinaatiot siitä välittämättä mikä A, B tai C-luokka.
Minusta epäselvää asia on lähinnä se, voiko luokalla olla nolla oppilasta. "Oppilaat päätettiin jakaa kolmelle luokalle A, B ja C" tarkoittaa, että luokkakoko on vähintään 1. "oppilaat saavat itse asettua 1-3 jonoon osoitetuille paikoille sen mukaan mille luokalle haluaisivat. " tarkoittaa aika selvästi, että luokkakoko voi olla 0, 1,...,60.
Kyllä ne oppilaat voivat vaikkapa kaikki asettua yhteen tai kahteen jonoon.
No sitten voidaan kysyä, miksi laaditaan noin epärealistisia tehtäviä. Kyllähän oppilaitoksissa pyritään suunnilleen yhtä suuriin luokkakokoihin eikä 60 oppilaan luokkia ole.
Järkevämpi sovellus olisi ollut vaikkapa että 60 turistia valitsee kolmen ravintolan väliltä.
Nimimerkki 'epärealistista' voisi alkajaisiksi opetella lukemaan. Tuossa tehtävänannossa nimenomaan todettiin, että päätettiin ALUKSI kokeilla tällaista menettelyä. Tämän jälkeenhän voidaan suorittaa jonojen tasaus.
No kyllä siinä oli sitten opettajilla pallo pahasti hukassa. Suoraan sanoen en usko että tuollaista luokkajakoa sovelletaan.
Kylläpä tämä sivusto pelleilee. Kirjoitin jo aiemmin vastauksen, jossa perustelinkin ratkaisua mutta näkyy salaperäisellä tavalla hävinneen. Äsken kirjoitin myös mutta ei lähettänyt sitä. Tässä nyt vielä pelkkä vastaus ilman perusteluja.
Jos oppilaat menevät jonoihin vain sen selvittämiseksi kuka millekin luokalle pannaan niinheidän järjestyksellään jonoissa ei ole väliä. Mahdollisuuksia on tällöin 3^60.
Jos nyt kuitenkin halutaan laskea, montako eri jonoa voidaan muodostaa kun järjestyskin otetaan huomioon on näitä mahdollisuuksia
C(60 3 - 1, 60) * 60! = C(62,60) * 60! = 3 * 4 * 5 *....*62.
Ohman
Kyllä sillä järjestyksellä nimenomaan on merkitystä. Jonojen 20 ensimmäistä pääsevät varmasti haluamalleen luokalle, ja muiden osalta mahdollisuudet päästä samalle luokalle ovat hyvät, kun jonoja ruvetaan pätkimään niiden tasaamiseksi.
Mutta tuleehan tuolta lopulta oikea vastauskin, joskin laskutapa vaatisi ehkä hiukan selitystä.
Perusteluja voi keksiä useampiakin. Tässä yksinkertaisin jota tulin ajatelleeksi.
60 oppilasta voidaan laittaa kolmeen jonoon siten että kaikki käyvät jonoon ja sitten otetaan kaksi aidanpätkää, joilla oppilaat jaetaan kolmeen jonoon. Meillä on siten jono, jossa on 60 oppilasta ja 2 aidanpätkää eli jonon pituus on 62.
Erikoistapaukset: molemmat aidanpätkät ovat jonon lopussa = kaikki oppilaat jonossa 1, yksi aidanpätkä on jonon alussa ja toinen lopussa = kaikki oppilaat ovat jonossa 2, molemmat aidanpätkät ovat jonon alussa = kaikki oppilaat ovat jonossa 3.
Oppilaat ovat tunnistettavissa toisistaan mutta aidanpätkät eivät. Kaikkiaan 62 objektia voidaan panna 62! järjestykseen mutta koska aidanpätkät ovat identtiset, tämä on jaettava luvulla 2! (= 2). Kaikkiaan e r i järjestyksiä on siis
62! / 2! = 3 * 4 * ...* 62.
Ohman