Taso T kulkee pisteen (2,-1,-5) kautta ja sen eräs normaalivektori on n=2i-4j k. Missä pisteessä taso T leikkaa suoran s, joka kulkee pisteen Q(6,2,-3) kautta ja jonka suuntavektori on s=i-k? miten tason normaalivektoria tässä käytetään?
Taso ja vektorit
automobilegangsta
5158
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Selvitä tason yhtälö (muotoa ax by cz = d) annetun tason pisteen ja normaalivektorin avulla. Jos piste (x,y,z) on tasossa, niin vektorit (x-2, y 1, z 5) ja normaalivektori n= (2, -4, 1) ovat kohtisuorassa eli niiden sisätulo on nolla. Siis:
2(x-2) - 4(y 1) 1(z 5) = 0
2x - 4y z = 3
Tutki seuraavaksi suoraa, milloin se osuu tasoon T? Suoran pisteet ovat muotoa
Q t(1,0,-1) = (6 t, 2, -3-t), missä t on parametri.
Eli leikkauskohdassa täytyy olla
2(6 t) - 4*2 (-3-t) = 0
t = -1
Siis kysytty leikkauspiste saadaan t:n arvolla -1, eli se piste on Q 1*(1,0,-1) = (5,2,-2).
Toivottavasti ei tullut laskuvirheitä, kun nuo tuolleen nopeasti laskeskelin, mutta tällä idealla sen ainakin pitäisi mennä.
Tuli nyt nokikanalle virhe. "kyllä sokea kana jyvän löytää" mutta nokikana nyt ei löytänyt.
Leikkauspisteen yhtälössä pitää olla oikealla puolella 3 eikä 0. Oikea t:n arvo 2 ja leikkauspiste on (8,2,-5). Tämä piste sijaitsee k.o. tasossa, sillä
2 x 8 -4 x 2 -5 = 3.
Ohman
Lisäkommentti: Taso ax by cz = 0 kulkee origon kautta.Sen normaali on tietysti vektori (a,b,c) sillä tämän pistetulo vektorin (x,y,z) kanssa on 0. Taso ax by cz = d on tuon tason kanssa yhdensuuntainen joten sillä on sama normaali. Joten
tehtävässä 2 x 2 -4 x (-1) - 5 = d = 3.Tason yhtälöstä,jos se on annettu, näkee siis normaalin suoraan. Tämä nyt vain pikku lisukki asiaan.
Ohman
Joo, virhehän sinne pannahainen tuli. :D Olisi pitänyt tarkastaa edes että piste on tasossa... No, onneksi täällä joku on tarkkana.
Sanon vielä tuon toisinkin. Olkoon A = (a,b,c) ja R = (x,y,z). Taso ax by cz = 0 kulkee origon kautta ja R on tuon tason pisteen paikkavektori. Koska (A,R) = 0 (tuo oli sisätulo eli pistetulo eli skalaaritulo), sillä (A,R) = ax by cz = 0, on A tason normaali.
Olkoon meillä nyt taso ax by cz = d eli vektorimerkinnöin (A,R) = d Jos nyt R1 on tuon tason jonkin tietyn pisteen paikkavektori ja R on tason minkä tahansa muun pisteen paikkavektori niin R - R1 on tason suuntainen vektori ja (A,R - R1) =
(A,R) - (A,R1) = d - d = 0 joten A on kohtisuorassa tasoa vastaan.
Kun siis tunnetaan normaali A ja yksi tason piste R1 löytyy tason yhtälö ratkaisemalla d yhtälöstä (A,R1) = d. Jos taas on annettu tason yhtälö (A,R) = d nähdään siitä suoraan että A on tason normaali edellä selittämästäni syystä.
Enpä tiedä, oliko tämä lisäkommentti nyt tarpeen mutta ehkä joku koululainen saattoi siitä hyötyä.
Ohman