Katselin matematiikantehtäviä osoitteesta http://www.elisanet.fi/matti.t.Lehtinen/tehtarkisto.pdf ja ratkaisuja http://www.elisanet.fi/matti.t.Lehtinen/ratkarkisto.pdf . Minusta tuo 159 on ratkaistu liian monimutkaisesti.
"Todista, että ympyrän kahden yhdensuuntaisen jänteen keskipisteiden kautta kulkeva
suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta."
Olkoon AB jänne. Sen keskinormaalin jokainen piste on yhtä etäällä A:sta ja B:stä. Mutta ympyrän keskipiste O on myös yhtä etäällä A:sta ja B:stä. Siis O kuuluu janan AB keskinormaaliin. Mutta samoin O kuuluu janan CD keskinormaaliin, missä siis CD on ympyrän toinen jänne. Koska AB||CD, on myös keskinormaalit yhdensuuntaisia ja koska O kuuluu molempiin, on O ja janojen keskipisteet samalla suoralla.
Mitä mieltä olette ratkaisusta?
"Todista, että ympyrän kahden yhdensuuntaisen jänteen keskipisteiden kautta kulkeva
suora kulkee ympyrän keskipisteen kautta."
Olkoon AB jänne. Sen keskinormaalin jokainen piste on yhtä etäällä A:sta ja B:stä. Mutta ympyrän keskipiste O on myös yhtä etäällä A:sta ja B:stä. Siis O kuuluu janan AB keskinormaaliin. Mutta samoin O kuuluu janan CD keskinormaaliin, missä siis CD on ympyrän toinen jänne. Koska AB||CD, on myös keskinormaalit yhdensuuntaisia ja koska O kuuluu molempiin, on O ja janojen keskipisteet samalla suoralla.
Mitä mieltä olette ratkaisusta?
Vastaukset 4
Vanhimmat
Miten sinä määrittelet keskinormaalin? Jos se on suora joka kulkee AB-jänteen keskipisteen kautta ja on kohtisuorassa AB:tä vastaan, niin on todistettavissa että jokainen keskinormaalin piste on yhtä etäällä A:sta ja B:stä. Mutta pitäisi vielä todistaa, että jokainen piste, joka on yhtä etäällä A:sta ja B:stä on keskinormaalilla. Muutenhan O voisi olla yhtä etäällä A:sta ja B:stä olematta keskinormaalilla.
Sanotko,että pedanttista? Joo, mutta täytyyhän näissä olla tarkkana.
Ohma
Tarvittava lause on esitetty osoitteessa http://www.elisanet.fi/matti.t.Lehtinen/geom13.pdf sivulla 14 lause 1.4.13. Keskinormaali on määritelty juuri sen yläpuolella.
Tuossa on varmaan kyse siitä mitä on aiemmin todistettu. On varsin helppoa todistaa yhdenmuotoisilla kolmioilla että keskinormaalin pisteet ovat yhtä etäällä janan kärkipisteistä ja että jos piste on yhtä etäällä kärkipisteistä, se on keskinormaalilla.
"Varsin helppoa" on todistaa se alkuperäinen tehtäväkin. En kommentoinut helppoutta tai vaikeutta vaan vastasin kysymykseen ja tarkkaan ottaen tuo mainitsemani seikka puuttui todistuksesta.
Ohman