Sählään aina jotenkin diskreettien jakaumien(kin) kanssa, niin tässäkin, vaikka tiedän periaatteen. Tällainen harjoitustehtävä (T on tehtävässä kreikk. theta, <= on yhtäsuuri tai suurempi, oo on ääretön):
Olkoon x1, x2,..., xn satunnaisotos jakaumasta, jonka tiheysfunktio on
f(x) = x;T) = T^xe^(-T)/x!, jossa x = 0, 1, 2, ...., - oo <= T <= oo; ja 0 muualla.
Hae maximum likelihood -statistiikka T:lle.
Olkoon x1, x2,..., xn satunnaisotos jakaumasta, jonka tiheysfunktio on
f(x) = x;T) = T^xe^(-T)/x!, jossa x = 0, 1, 2, ...., - oo <= T <= oo; ja 0 muualla.
Hae maximum likelihood -statistiikka T:lle.
Vastaukset 20
Vanhimmat
Siinä sulle äärettömän symboli: ∞ (jos muita kaipaa niin: http://www.rapidtables.com/math/symbols/Basic_Math_Symbols.htm )
Θθ siinä thetat. (Kreikkalaisen näppäimistön saa aika helposti laitettua päälle windowssissa)
Kirjoita ensi likelihood-funktio, kun kerran tunnet periaatteen. Sen saa mulkattua muotoon
L (θ; x1, ..., xn) = [θ^(Σxi)e^-nθ)]/Πxi ,(i on alaindeksi, käy 1:stä n:ään Σ:ssa ja Π:ssa).
Ottamalla logaritmit molemmista puolista saadaan
ln L = Σxi · ln θ - nθ - ln Πxi
Otetaan osittaisderivaatta θ: suhteen ja asetaan nollaksi:
∂ln L/∂θ = Σxi · (1/θ) - n =0
Tästä Σxi/θ = n ---> θ = Σxi/n eli x:n aritmeettinen keskiarvo.
(Tuli niin nätti tulos, että luultavasti en alussa hutiloinut.)
Kiitos! Jotain tuollaista yritinkin, mutta laskurutiini ei oikein riittänyt.
En ymmärrä asiasta mitään, mutta mikä tuo yksi merkki on, siis neliö, josta puuttuu alasivu?
Se on kreikkalainen kirjain Pii.
Π (iso pii) on kertomamerkki. Matemaattisessa esityksessä sen alle merkitään tarvittaessa esim. i=1 ja päälle n, jolloin Πx_i = 1 · 2 · 3 · · · n. (_ on tässä alaindeksin merkki). Π on siis täysin eri asia kuin "tavallinen" π (= 3.14...).
Iso pii on tulon merkki. Kertomaa merkitään huutomerkillä. Tarkkuutta, kiitos.
Aivan niin. Nimimerkki "Statistician" antaa tuossakin hyvän esimerkin hutiloinnistaan.Mainitsen nyt kun hän kerran näitä esimerkkejä pyysi.
Ohman
Statistician laski (taas!) väärin.
Jos kerran p(x) = T^x e^(-T) / x! niin otoksella x1,x2,...,xn on todennäköisyys
L = p(x1) p(x2)...p(xn) = (T^(x1 x2 ... xn) e^(-nT)) / (x1! x2! ...xn!)
eikä tuo S:n ilmoittama.
Lopputulos on kuitenkin sama, sillä
dL/dT = ((x1 ... xn) T^(x1 .. xn -1) e^(-nT) - n T^(x1 ... xn) e^(-nT))/(x1!...xn!).
Kun tämä merkitään nollaksi, saadaan (T^(x1 ... xn - 1)e^(-nT) (x1 ... xn - nT) = 0 joten
T = (1/n) (x1 x2 ... xn).
Ohman
1. Olli Opiskelijan tehtävänanto oli sekava. Jos T voi saada kaikki reaaliarvot niinkuin hän kirjoitti niin mitä se " 0 muualla" tarkoitti. Eikä itse asiassa T voi olla negatiivinen sillä se johtaisi joidenkin x:ien kohdalla negatiiviseen todennköisyyteen (T^x < 0).
2. Tarkkoja ollaksemme pitäisi tuossa estimaattorin laskussa myös perustella, miksi saatu derivaatan nollakohta antaa nimenomaan maksimin eikä siis ole minimi tai muuten kriittinen piste.
Ohman
Sait saman tuloksen eli aritmeettisen keskiarvon! Oliko laskussani sitten kaksi toisensa kumoavaa virhettä, vai miten selität? Yksi ! ja ( kyllä näköjään puuttuu ensimmäisestä lausekkeesta, mutta ei vaikuta tulokseen. Pistän paremmalla ajalla (huomenna kenties)) tulemaan oman laskuni alkupään; en kyllä itse keksi siinä virhettä.
Tehtävä on kyllä OK. "0 muualla" ilmoitetaan yleensä tiheysfunktioiden yhteydessä kertomaan, että annettu funktio pätee vain annetuilla rajauksilla ja on nolla muualla. Monesti jätetään poiskin, jos mitään sekaantumisvaaraa ei ole.
Eksaktissa tieteellisessä matemaattisessa esityksessä tietenkin pitäisi tsekata minimi/maksimi/kriittinen piste, mutta käytännössä se selvissä tapauksissa , varsinkin harjoitustehtävätasolla, jätetään tekemättä.
P.S. Voisitko turhanpäiväisessä nokitteluhalussasi kertoa, milloin viimeksi olen laskenut väärin. On sellaistakin voinut joskus sattua, mutta olen aina korjannut virheeni.
Ei minulla ole mitään nokittelunhalua.
Sinulta puuttui kahdesta kaavasta tuo kertoman merkki ja se on virhe. Tokihan n ja n! ovat kovastikin eri lukuja.Eihän se annettu jakauma toteuta sitä että kokonaistodennäköisyys on 1 jos siinä ei ole x!.
Ei laskussasi ole kahta toisensa kumoavaa virhettä vaan koska tuo kertomien tulo esiintyy Lausekken L= p(x1) p(x2)...p(xn) nimittäjässä eikä riipu T:stä se ei vaikuta derivaatan nollakohtaan joten sait kuitenkin oikean tuloksen. Mutta ei se poista tuota virhettäsi. Sinä pidät kai sitä pienenä virheenä, puuttuihan parista paikasta vain huutomerkki.
Huomasit kai myös että ilman logaritmejakin helposti selviää vaikka ei se logaritmin käyttö nyt virhekään ollut.
Tehtävä ei ollut ihan OK. Siinä oli (ilmeisesti painovirhe) tuo "f(x) = x;T" ja sitten annettiin T:lle rajat -äärettömästä äärettömään vaikka T ei voi olla negatiivinen, kuten totesin.Ja kyllä tuo "0 muualla" oli myös vähän epäselvästi sanottu vaikka tokihan ymmärsin mitä OO ajoi takaa.
Kaikkea sitä joutuu selittämään!
Kyllä minä muistan aikoinaan korjanneen jonkun virheesi etkä tainnut vastata siihenkään kun joku huomautti viestistäsi eräässä toisessa tehtävässä. En nyt tätä kirjoittaessani pääse näkemään niitä kertoakseni tarkasti, mistä tapauksista ole kyse. Liekö tuo tarpeenkaan.
Jos olet sitä mieltä että selvien virheiden korjaaminen on "nokittelua" niin en mahda sille mitään. Suosittelisin sinulle kuitenkin huolellisuutta kun kirjoittelet näitä juttujasi.
Ohman
Statistician:
Tässä nyt kaksi esimerkkiä:
Talousmatematiikkakysymyksessä kirjoitin sinun jälkeesi selvityksen tuosta "joustosta". Sinun jutussasi sanottiin, että "pysyvät ennallaan kun e = -1". Näinhän ei ole kuten jutustani näet. Et kuitenkaan kommentoinut mitenkään.
Linearisointiongelmassa et vastannut nimimerkin "NoPropleemi" kommenttiin eksponenttifunktiosta.
Enempää en nyt viitsi kaivella.
Ohman
Totta ihmeessä myyntitulot (ei siis kysyntä) pysyvät ennallaan hinnan muuttuessa, kun hintajousto = -1. Mietis nyt toisen kerran! Minä en taas viitsinyt tuosta huomauttaa, koska laskusi olivat oikein, mutta et ottanut kantaa varsinaiseen kysymykseen myyntituloista. Miksi muuten puhut joustosta sitaateissa? Kyllä se on ihan täyspätevä matemaattinen termi (engl. elasticity). Tuota toista esimerkkiäsi en nyt muista.
Tehtävän mahdollisesta virheellisyydestä: ei siinä minusta ole mitään väärin. f(x;θ):ssa θ:lla tarkoitetaan yleisesti tiheysfunktiota määrittävää parametria, jolle rajoitteessa sallitaan myös negatiiviset arvot. Tämä ei implikoi, että miinusmerkkisiä arvoja voisi tulla!
Huomasin nuo huolimattomuusvirheeni tässä tehtävässä kuten itsekin jo kerroin. Merkintälapsukset korjaantuivat seuraavassa vaiheessa; eihän oikeaa lopputulosta muuten olisi tullut. Kuten omasta kokemuksestasi olet huomannut (?), vähänkin kiemuraisempien juttujen kirjoittaminen tänne on ultratarkkaa touhua, kun käytettävissä on vain yksi rivi ja sulkuja tarvitsee sen vietävästi. Huolimattomuuksia sattuu.
Tässä kuitenkin kuitenkin tämä tehtävä alusta alkaen kieli poskessa kirjoittaen (_ on alaindeksi; i käy 1:stä n:ään)):
f(x;θ) = [θ^xe^(-θ)]/x!.
L(θ;x_1, ...,x_n) = [(θ^(x_1)e^(-θ)]/x_1! · · · [θ^(x_n)e^(-θ)]/x_n!
= [θ^(x_1 x_n)e^(-nθ)]/Πx_n! =[ θ^(Σx_i)e^(-nθ)]/Πx_i!.
ln L = Σx_i · ln θ - nθ - ln Πx_i.
∂(ln L)/∂ = Σx_i · (1/θ) - n = 0 ----> θ = Σx_i/n.
Onko huomauttamista? Peace!
Lisäys: funtsin vielä kerran ja luin aloituksen uudellee:n: kyllä tehtävässä olisi _järkevämpää_ esittää θ:n arvojen rajat muodossa 0 ≤ θ < ∞ juuri mainitsemasi spekuloinnin takia. Nolla-arvo alarajaksi kelpaa kyllä hienoviilatenkin, mutta ääretöntä ei voi saada - siinä on ainakin virhe. Lukeneeko kysyjä enää ketjua, niin voisi kertoa, mikä tuo merkintä tehtävässä lopulta oli.
Statistician: Et vieläkään näytä ymmärtävän kommenttejani.
1. Mitään "spekulointia" ei ollut. Yksinkertaisesti vain ei voi olla T < 0 sillä silloin jotkut todennäköisyydet olisivat negatiivisia (T < 0 -> T^x < 0 x:n parittomilla arvoilla).
2. Talousmatematiikka-ketjussa et näköjään vieläkään huomaa virhettäsi.
3. Tuosta "matematiikon" kritiikistä et näy välittäneen..
4. Sama koskee tuota "NoPropleemi"-nimimerkin kritiikkiä, et vastannut siihen asiallisesti.
En viitsi jatkaa inttämistä kanssasi. Sinulle ei näytä olevan tärkeintä tulevatko tehtävät oikein ratkaistua vaan se, että teit mitä kömmähdyksiä tahansa niin puolustelet niitä harhaanjohtavilla kirjoituksillasi, Eikö sitä vain voisi reilusti sanoa, että "juu, tein virheen".
Aiheetta yhtään enempään., Kirjoittele mitä lystäät.
Ohman
Totta, ei voi olla T < 0.
Talousmatematiikka-ketjussa - jos tarkoitat hintajoustoon liittyvää aloitusta - minulla ei ollut minkäänlaista virhettä. b-kohta oli selitetty verbaalisesti ottaen huomioon kysyjän taustan. Et kai edelleen luule, että myyntitulot muutuvat hinnan muuttuessa, kun kysynnän hintajousto= -1?
Yritin googlettaa hakusanoilla "Suomi24 matematiikka nopropleemi", mutta löytyi vain tämä ketju.
Samat sanat viimeisen kahden lauseesi suhteen, joskin tarkkoja ollaksemme piste ja pilkku -välimerkkiyhdistelmää en ole ennen nähnyt lauseiden välissä. Sattuuhan sitä :-).
Kokeilehan näitä: https://www.google.fi/search?q=math solver step by step&ie=utf-8&oe=utf-8&gws_rd=cr&ei=Pr4iVoryKIKrsAH2lIioBQ
OO: Tiedoksesi vielä, että jakautumasi on Poisson-jakautuma.Sen odotusarvo on juuri tuo T (p.o. T > 0) joten on aika luonnollista että aritmeettinen keskiarvo on T:n hyvä estimaattori.
Kun siis p(X = x) = (T^x / x!) e^(-T) kun x = 0,1,2,... niin odotusarvo
E(X) = Summa (0 <= x) (x (T^x/x!) e^(-T)) = e^(-T) Summa(1 <= x) T^x/(x-1)! =
e^(-T) T Summa (0 <= x) ( T^x/x!) = e^(-T) T e^(T) = T.
Ohman
Lisään vielä kommentin nimimerkille "Statistician" vaikka oikeastaan lupasin jo lopettaa.
1. Talousmatematiikka-ketjussa sanot, että myyntitulo = hinta x kysyntä. Jos kysyntä on y ja hinta x niin myyntitulo on yx.
Kun jousto e= -1 ja x pienenee 100 p % niin y kasvaa tämän saman prosenttimäärän.Eli uusi myyntitulo on (1 + p)y (1 - p) x = (1-p^2) yx mikä ei ole sama kuin yx.
Rautalangasta: Olkoon x= 10 ja y = 100, e = -1 ja p= 0,05.
yx = 1000 eli tämä on myyntitulo ennen muutosta.
Uusi hinta on siis 9,5 ja uusi kysyntä 105. Uusi myyntitulo on 997,50 mikä ei ole sama kuin entinen myyntitulo 1000.
Jos p = 0,10 niin 1 - p^2 = 0,99 ja myyntitulo on 0,99 xy = 990.
2. NoPropleem-nimimerkin kommentti oli ketjussa "Linearisointiongelma".
3. Matemaatikko-nimimerkin kommentti oli tässä samassa ketjussa, missä nyt olemme (Maximum likelihood - tehtävä).
No nyt lopetan.
Ohman