1.) Pystyisikö joku vahvistamaan oheisen lainauksen sisällön?
"The maximum of a subharmonic function cannot be achieved in the interior of its domain unless the function is constant, this is the so-called maximum principle. However, the minimum of a subharmonic function can be achieved in the interior of its domain"
2.) Eikö esimerkiksi f(x, y) = x² y² ole subharmoninen funktio, joka saa origon sisältämässä avoimessa ympäristössä pienimmän arvonsa origossa (eli joukon sisäpisteessä)?
"The maximum of a subharmonic function cannot be achieved in the interior of its domain unless the function is constant, this is the so-called maximum principle. However, the minimum of a subharmonic function can be achieved in the interior of its domain"
2.) Eikö esimerkiksi f(x, y) = x² y² ole subharmoninen funktio, joka saa origon sisältämässä avoimessa ympäristössä pienimmän arvonsa origossa (eli joukon sisäpisteessä)?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Toi ykköskohta on tosiaan voimassa. Todistus löytyy Olli Lehdon kirjasta Funktioteoria I-II, Limes ry, Helsinki 1985 sivulta 104 Lause 1.
Kakkoskohta myös totta. Funktio f on C^2, joten voidaan käyttää subharmonisuuden karakterisointia (ks. https://en.wikipedia.org/wiki/Subharmonic_function#Properties ):
funktio on subharmoninen <==> sen Laplaciaani >=0
Funktion f Laplaciaani on 2 >=0, joten f on subharmoninen.
Miniminsä 0 se saa origossa, joka on sisäpiste origon avoimessa ympäristössä.
Eikö Laplacian muuten ole 4?
Joo, 4 on :D
Kiitoksia.