Muurahainen laitetaan metrin mittaisen kuminauhan alkuun. Kun muurahainen etenee sentin, kuminauha venyy metrin.
Kauanko kestää, että muurahainen pääsee kuminauhan loppuun, ja miten se lasketaan?
Muurahainen on toki poikkeuksellisen pitkäikäinen, ja kuminauha kummallisen hyvää laatua.
Kauanko kestää, että muurahainen pääsee kuminauhan loppuun, ja miten se lasketaan?
Muurahainen on toki poikkeuksellisen pitkäikäinen, ja kuminauha kummallisen hyvää laatua.
Vastaukset 22
Vanhimmat
Mietin,että tuosta voisi muodostaa lukujonon, joka kertoo, kuinka suuren osan kuminauhan pituudesta muurahainen on kulkenut. Ensimmäisen sentin jälkeen se on kulkenut sadasosan, ja kun nauhaa venytetään, muurahainen on yhä kulkenut sadasosan. Kahdesta metristä sentti on yksi kahdessadasosa, joten muurahainen on kulkenut 1/100 1/200 nauhan pituudesta. Kun muurahainen on kulkenut n kertaa sentin, on kuljettu matka nauhan pituudesta 1/100 1/200 ... 1/100n.
Lanka on taivallettu, kun summan arvo ylittää ykkösen.
Yhtälöstä 1/100 1/200 ... 1/100n=1 saadaan sadalla kertomalla
1 1/2 1/3 ... 1/n=100.
Vasemmalla puolella on siis sarja n. osasumma. Koska harmoninen sarja hajaantuu, on tehtävälle olemassa yksikäsitteinen ratkaisu, ja muurahainen tosiaankin selviää langan toiseen päähän. Harmoniselle sarjalle ei kuitenkaan ole yleistä kaavaa, joten vastaus täytyy approksimoida jotenkin. Googlesta löysin nopeasti katsottuna, harmonisen sarjan osasumma ylittää luvun 100, kun n= 15092688622113788323693563264538101449859497
Protonitkin ovat sitten jo hajonneet, ennen kuin tehtävä on suoritettu.
Jep, en ajatellutkaan pidätellä hengitystä. Halusin vaan tietää, miten tuo lasketaan.
Tässä jotain juttua asiasta: http://fredrik-j.blogspot.fi/2009/02/how-not-to-compute-harmonic-numbers.html
Alussa koko nauha on muurahaisen edessä. Kun muurahainen lähtee etenemään, niin nauhaa jää sen taakse. Myös se osa nauhasta eli muurahaisen jo kulkema matka venyy. Lopussa lähes koko nauha on jo muurahaisen takana. Näin ollen loputaipaleella nauhan venyminen auttaa tehokkaasti muurahaista pääsemään perille.
Muurahaisen tarvitsee kävellä vain 100 cm, niin se on perillä venyneen nauhan toisessa päässä. Nauhan pituus on tällöin 101 m.
Näinhän se murkun jo kulkemakin matka tosiaankin venyy kuten sanoit. Minulle jäi tehtävän annossa epäselväksi, venyykö nauha aina yhden metrin vai tuleeko sen pituus kaksinkertaiseksi joka kerta. Ensimmäisellä kerralla se venyi metristä kahteen metriin joten kumpi venyminen jatkossa tapahtuu?Toisin vielä sanoen: venyykö nauha metrin vai jokainen nauhan metri metrin?
Tarkoitin sitä, että kuminauha venyy metrin joka sekunti, ei siis kaksinkertaista mittaansa. Loppuunhan se murkku tuossa toisessakin tapauksessa pääsisi, vaan loppumatka olisi aika haipakkaa....
Pakko kommentoida, ettei murkku pääsisi maaliin, jos nauhan pituus kaksinkertaistuisi. Tämä on helppo todistaa ajattelemalla, että muurahainen kulkisikin 50 cm kerralla 1 cm sijaan. Helposti huomataan, ettei muurahainen siltikään pääsisi puoltaväliä pidemmälle.
Siis ei pääsisi ikinä yli puolta jäljellä olevasta matkasta.
Perille murkku pääsee kummassakin tapauksessa. Ottakaa huomioon, että kuminauha venyy myös murkun takana. Kummassakin tapauksessa aika on sama, mutta kuljettu matka kasvaa hurjiin mittoihin.
Mutta kaavaa yhä odottelen.......
Jos tehtävä on sellainen, että kuminauhan pituus aina kaksinkertaistuu aikayksikössä eli noudattaa sarjaa 1, 2, 4, 8, 16... niin perillepääsy riippuu murkun nopeudesta. Oletetaan että murkku kulkee aikayksikössä matkan a suhteessa nauhan alkupituuteen. Nauha kasvaa funktion 2^t mukaisesti. Jos murkku on etäisyydellä x lähtöpaikastaan, on sen aikayksikössä etenemä matka:
dx = a*dt + (x/2^t)*D(2^t)
Tuo kun ratkaistaan, saadaan suhteelliseksi asemaksi:
x/2^t = (a/ln2)*(1-1/2^t)
Eli murkku voi saavuttaa nauhan toisen pään vain jos se etenee aikayksikössä ln2 eli runsaat 70 % nauhan alkupituudesta.
1. 875 ilmoitti että nauha ei veny aikaksikössä kaksinkeraiseksi vaan kasvaa metrillä. Yrität ratkaista nyt eri tehtävää
2 Mikä on a?
3. Käytät sekä kirjainta "d" että kirjainta "D". Mikä näiden merkitys on?
4. Mikä on"suhteellinen asema"?
5." Murkku etenee aikayksikössä ln 2 nauhan alkupituudesta." Siis ln 2 kertaa yksi metri?Vakionopeudella?
Voisitko laittaa juttusi kunnolliseen matemaatiseen muotoon?
Juttuasi ei oikein pysty kommentoimaan koska se on kirjoitettu niin sekavasti. Tarkoituksellako?
Ohman
a tarkoittaa murkun kulkunopeutta suhteessa nauhan alkupituuteen; jos nauhan pituus 1 m ja aikayksikössä murkku etenee 1 cm, a on 0,01
dt on differentiaalimerkki, D (2^t) on differentiaali tuosta lausekkeesta = ln2*2^t*dt
Suhteellinen asema tarkoittaa murkun etäisyyttä lähtöpisteestä suhteessa nauhan senhetkiseen pituuteen.
Ja tuossa tosiaankin ratkaistiin tehtävä jossa nauhan pituus aina kaksinkertaistuu aikayksikössä.
Tarkoitin vain, että olisin kirjoittanut tuon differentiaaliyhtälön näin:
dx/dt = a (x/2^t) d(2^t)/dt.
Siinä x = x(t) on murkun ajassa t kulkema matka ja dx/dt on murkun nopeus, joka on kahden nopeuden summa: a (=murkun kävelynopeus liikkumattomalla pinnalla) (x/2^t) d(2^t)/dt (nauha kuljettaa murkkua). Tuo toinen termihän taas tulee siitä, että nauhan loppupään paikka hetkellä t on s(t) = 2^t , loppupään nopeus on ds/dt ja nauhan pisteen x(t) nopeus on x(t)/2^t kertaa tuo ds/dt.
Ihan merkinnästä oli siis kyse, ei sen kummemmasta.
Kyllähän tämä jatkuva käsittely tietenkin on parempi kuin diskreetti, jonka Yömiettijä ja minä esitimme.
Ohman
Alussa on nauhan pituus l(0) = 100 (cm) ja muurahainen on nauhan alussa. Jos l(n) on nauhan pituus n sekunnin kuluttua niin l(n) = 100 (n 1).
Olkoon muurahaisen kulkema matka a(n) (cm) kun n sekuntia on kulunut.a(0) = 0.
a(1) = 2. a(n) = ((n 1)/n) ( a(n-1) 1) kun n = 0,1,2,...
Tästä rekursiokaavasta seuraa, että a(n) = (n 1) (1 1/2 ... 1/n).
Jotta murkku pääsisi nauhan loppuun täytyy olla a(n) >= l(n) eli
1 1/2 ... 1/n >= 100.
Tuon summan arvo on sen verran hankala laskettava että jätän n:n arvon määräämisen. Tuosta kaavasta se kuitenkin lähtee jos joku jaksaa nähdä vaivan.
Ohman
Tehtävä voitaneen tulkita niin että murkun kulku ja nauhan venyminen tapahtuvat samanaikaisesti. Siksi diskreetti menetelmä ei anna tarkkaa arvoa. Ohman olettaa että murkku ensin kulkee 1 cm matkan ja sitten nauha venyy kaksinkertaiseksi, jolloin koko matka olisi 2 cm. Jos tuo tapahtuisi päinvastoin, ensin venyminen ja sitten kulku, olisi ensimmäinen vaihe vain 1 cm. Tai jos murkku kulkee ensin 0,5 cm, sitten nauha venyy ja sitten murkku kulkee taas 0,5 cm, on ensi vaiheessa edetty 1,5 cm. Tehtävä mahdollista ratkaista myös jatkuvan funktion avulla kuten tuossa edellä tapaukselle jossa nauhan pituus kaksinkertaistuu joka vaiheessa.
Sekä murkun takana oleva matka että sen kulkema 1 cm venyvät.Murkku kulkisi omalla vauhdillaan 1 cm:n mutta koska nauha venyy, se askeleella n kulkeekin (n 1)/n cm.Samalla sen takana ollut matka a(n-1) venyy samallakertomella. Nauha kuljettaa murkku tuon 1 cm:n ylittävän matkan.
PS: Tuolle summalle löytyy kyllä kaava
S(1 <= k <= n)( 1/k) = C ln n 1/(2n) - S(2 <= k <= ääretön) (A(k) / (n(n 1)...(n k-1))), missä C on Eulerin vakio 0,577215... ja
A(k) = (1/k) Integraali (0 <= x <= 1) (x(1 - x)(2-x)...(k-1-x)) dx
Ensimmäiset A:t ovat A(2) = 1/12, A(3) = 1/12, A(4) = 19/120, A(5) = 9/20,...
C= lim (s -> ääretön) (S(1 <= m <= s)(1/m) - ln s) = 0,577215...
Kaava on teoksesta Gradshteyn / Ryzhik (Jeffrey, Editor) : Table of Integrals, Series, and Products.
Siitä vaan laskemaan sellaista n:n arvoa että ehto a(n) >= l(n) täyttyy!
Heko-heko!
Ohman
Ratkaistaanpa jatkuvalla funktiolla. Nauhan pituus alussa 1 ja se venyy yksikön verran joka aikayksikössä eli nauhan pituus on t 1. Muurahainen etenee nopeudella a (a=0,01 jos etenee 1 cm aikayksikössä 1 m nauhalla). Hetkellä t murkku on etäisyydellä x alkupäästä. Silloin murkun etenemä lisämatka saadaan yhtälöstä:
dx = a*dt (x/(t 1)*dt
Ratkaisu on:
x = a*(t 1)*ln(t 1)
Murkun suhteellinen etenemä on:
x/(t 1) = a*lnt(t 1)
Kun murkku saavuttaa nauhan toisen pään: x/(t 1) = 1
Jos a = 0,01, pätee ln(t 1) = 100, likimääräisesti t = e^100
Jos x = (t 1) a ln(t 1) (kuten ilmoitit) niin
dx/dt = a ln(t 1) a (t 1) 1/(t 1) = a ln(t 1) a eikä siis tuo sinun kirjoittamasi 1. yhtälö.
Laskeskelet näköjään täyttä soopaa. En viitsi tämän enempää kommentoida juttujasi.
Ohman
Tuo kirjoittamani diffisyhtälö on, kun dt siirretään toiselle puolelle:
dx/dt = a x/(t 1)
Ja ratkaisu oli:
x = a*(t 1)*ln(t 1)
Kun x sijoitetaan diffisyhtälöön, tulee täsmälleen sinun derivoimasi funktio.
Eikö sun kannattaisi katsoa vähän tarkemmin ennen kuin heittäydyt ylimieliseksi. Munaat vain itsesi totaalisesti.
Kannattaisi. Kyllä ratkaisusi toteuttaa diff.yhtälön.
Ohman