Millä a: n arvolla funktio => f(x) = (5 - 4a) x^2 2ax 1 on kokonaan x-akselin yläpuolella?
Millä arvolla funktio on x-akselin yläpuolella
aaan_arvoinen
759
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Silloin, kun sillä ei ole nollakohtia. Eli ratkaisukaavassa se "neliöjuuren alla oleva" on negatiivinen.
Tämä merkitsee vasta, että se on kokonaan jommalla kummalla puolella. Jotta se olisi yläpuolella, täytyy sen olla ylöspäin aukeava eli x^2:n kertoimen oltava positiivinen.
Ota myös huomioon, että funktio voi olla a:sta riippuen myös alempaa astetta kuin toista eli kuvaaja ei välttämättä ole paraabeli.
Joo. Eiköhän noilla eväillä.
Meillä on f(x) = (5 - 4a) x^2 2a x 1. Jo 5 - 4a = 0 eli a = 5/4 niin f(x) = 5/2 x 1 ja tämä on < = 0 kun x < = - 2/5 eli tämä a:n arvo ei ole mahdollinen jos pitää olla f > 0.
Voidaan siis kirjoittaa f(x) = (sqrt(5 - 4a) x a / sqrt(5 - 4a))^2 (1 - a^2/(5 - 4a))
Nähdään että tuo suluissa oleva neliölauseke on > = 0 ja saa arvon 0 kun x = -a/(5 - 4a)).
Jos siis 1 - a^2/(5 - 4a) < = 0 voi f saada arvon joka on < = 0.Mutta jos
1 - a^2/(5 - 4a) > 0 on f > 0.
Täytyy siis olla 1 - a^2/(5 - 4a) > 0 eli a^2 4a - 5 < 0 eli (a 2)^2 - 9 < 0 ja siis
l a 2 l < 3 eli -5 < a < 1.
Ohman
Jäi sanomatta, että pitää olla 5 - 4a > = 0, muutenhan tuota neliöjuurta ei reaalialueella voi ottaa. Tapaus 5 - 4a = 0 tuli jo pois suljettua. Jos 5 - 4a < 0 niin a > 5/4. Tällöin termin x^2 kerroin siis on negatiivinen ja f saa negatiivisiakin arvoja sillä x^2 kasvaa nopeammin kuin 2a x 1. 5 - 4a < 0 ei siis tule kysymykseen kun pitää olla f > 0.
Ohman
Jos käytetään tuora diskriminanttitapaa juttu menee näin.
f = 0 kun x = (-2a /- sqrt(4a^2 16 a -20)) / (2 (5 - 4a)). Aiemmassa ratkaisussa jo totesin että täytyy olla 5 - 4 a =/ 0. f:llä ei ole nollakohtia jos
a^2 4a -5 = (a 2)^2 - 9 < 0 joten pitää olla l a 2 l < 3 ja siis -5 < a < 1.
Koska f(0) = 1 oli a:lla mikä arvo tahansa ja f säilyttää merkkinsä kun -5 < a < 1 on siis f > 0 kun -5 < a < 1.