Laske integraali
int(0---> ääretön) {[e^(-ax) - e^(-bx)]/x}dx , (a > 0, b > 0)
(Anteksi sulkujen paljous, mutta ei onnistu tässä muuten, kynällä kirjoitettuna jakoviivan kanssa selvempi].
Käsittääkseni tuota ei voi ilmaista alkeisfunktioilla, mutta mitenkä pitäisi lähteä liikkeelle? Kiitollinen olen vinkistä!
int(0---> ääretön) {[e^(-ax) - e^(-bx)]/x}dx , (a > 0, b > 0)
(Anteksi sulkujen paljous, mutta ei onnistu tässä muuten, kynällä kirjoitettuna jakoviivan kanssa selvempi].
Käsittääkseni tuota ei voi ilmaista alkeisfunktioilla, mutta mitenkä pitäisi lähteä liikkeelle? Kiitollinen olen vinkistä!
Vastaukset 17
Vanhimmat
Tähän on olemassa sellainen temppu, että ilmaiset tuon integrandin sopivana (määrättynä) integraalina (uuden muuttujan suhteen tietenkin) ja sitten vaihdat integrointijärjestystä.
En tässä nyt liikaa paljasta, kun kuitenkin on harjoitustehtävä, mutta kyllä ratkaisu on ilmaistavissa alkeisfunktioilla.
Onnistuuko tosiaan?
En nyt ehdi miettimään mutta Integraali (e^(ax)/x) dx = Ei(ax), missä tuo Ei on eksponentiaali-integraali-funktio joka määritellään sarjojen tai integraalien avulla ja määritelmän muoto riippuu siitä millä x-akselin alueella liikutaan.
Mutta jos onnistuu niin mikäpäs siinä.
Ohman
Muodosta paprulla määrätty integraali a=>b... (e^(-xt)dt, (siis välillä a...b), ja sitten toimit niin kuin Nokikana neuvoi
Tuossahan se oikeastaan on: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral e^(-xt)dt, from a to b
Integroidaanko tuossa tosiaan joukkoa, jonka ainoa alkio on [e^(-ax) - e^(-bx)]/x, eikä funktiota? Eikö yhden alkion joukon mitta ole nolla?
Ei ole, jos otetaan esim. Diracin mitta käyttöön.
Oisko ln(b/a) ?
on se
Kaiva netistä esille Ei-funktio. Katso vaikka'
http://dlmf.nist.gov/6.2
Siis näin:
int(0->inf){[e^(-ax) - e^(-bx)]/x}dx =
int(0->inf){int(a->b)[e^(-x*y)]dy}dx =
int(a->b){int(0->inf)[e^(-x*y)]dy}dx =
int(a->b)[lnx]dx =
ln(b/a)
Ihan kuin tossa olisi kaikki vähän sekaisin, tai sitten tässä mnun tekeleessäni on.
Näin minä sen ymmärsin: http://aijaa.com/fT6PRQ
Googlaamalla löytyi http://math.stackexchange.com/questions/552384/proving-of-integral-int-0-infty-frace-bx-e-axxdx-ln-left-fr
Sieltähän noita ratkaisuja näkyy löytyvän. Tuo Laplace-muunnokseen perustuva oli mielenkiintoinen.
Tuo ln(b/a) on oikea ratkaisu. Tulos on hauska vähän samaan tapaan kuin että että Int (0 <= t <= ääretön) (e^(-t^2) dt) = sqrt(pii) / 2) vaikka sama integraali ei ole analyyttisesti laskettavissa kun ylärajana on yleisesti x.
Teoksessa George Boros & Victot H. Moll : Irresistible Integrals ( Cambridge University Press 2004) kerrotaan, että tällainen integraali kuin tässä tehtävässä oli on esimerkki Frullani - integraalista. Teos kertoo ,että "Under some mild conditions on the function f, such that the existence of the limiting value f(ääretön) , the result
Int (0 <= x <= ääretön) ((f(ax) - f(bx)) /x) dx = (f(0) - f(ääretön)) ln(b/a)
holds.
Tämä nyt vain kommenttina asiaan. Jotkut nimimerkit näyttivät kyllä osaavan laskea tämän.
Ohman
No ainakin tuli kirjoitusvirhe tuossa lopussa, piti olla:
int(a->b)[1/x]dx = ln(b/a)
Minä meinasin, että nuo dx ja dy ovat sekaisin keskenään.
Siis näin:
int(0->inf){[e^(-ax) - e^(-bx)]/x}dx =
int(0->inf){int(a->b)[e^(-x*y)]dy}dx =
int(a->b){int(0->inf)[e^(-x*y)]dx}dy =
int(a->b)[1/y]dy =
ln(b/a)
Niin joo, tuo on korrektimpi tapa. Integrointirajoja ei voi noin vain vaihtaa muuttujien kesken. Tuossa saadaan oikea vastaus vaikka vaihdetaan koska e^(-x*y) on symmetrinen x ja y suhteen.
Myöhäinen kiitos vastanneille, erityisesti nokikana234:lle, jonka vinkeillä sain itsekin oikean tuloksen aika nopeasti.