Satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakaiman tiheysfunktio on
f(x,y) = xy, 0 < x,y < 1, ja 0 muutoin. Laske x:n ja y:n korrelaatio.
Tuosta siis pitäisi jotenkin repiä laskemista varten kovarianssi ja varianssit, mutta miten?
f(x,y) = xy, 0 < x,y < 1, ja 0 muutoin. Laske x:n ja y:n korrelaatio.
Tuosta siis pitäisi jotenkin repiä laskemista varten kovarianssi ja varianssit, mutta miten?
Vastaukset 9
Vanhimmat
Tehtävässäsi on jotain vikaa. Ei muuttujien X ja Y yhteisjakauman tf voi olla xy. Tällöinhän neliön 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1 todennäköisyysmitta olisi 1/4 vaikka sen pitää olla 1.
Jos oletetaan, että tuo tf on f(x,y) = 4 xy saadaan koko alueen mitaksi 1. Tällöin reunatodennäköisyystiheydet ovat f1(x) = Int (0 <= y <= 1)( 4xy dy) = 2x ja samoin
f2(y) = 2y. Koska f(x,y) = f1(x) f2(y) ovat X ja Y riippumattomia ja niiden kovarianssi siis 0.
Jos taas oletan, että puhut kertymäfunktiosta eli F(x,y) = xy niin tämä käy sillä sen antama neliön kokonaismitta (todennäköisyys) on 1.
Nyt tiheysfunktio f(x,y) = 1. Reunatiheydet ovat f1(x) = 1 ja f2(x) = 1 ja taas f(x,y) = f1(x) f2(y) eli X ja Y ovat riippumattomia.
Saman voi sanoa myös reunakertymäfunktioita apuna käyttäen. Jos F(x,y) = xy niin oli f(x,y) = 1 ja siis
F1(x) = Int (0 <= t <= x, 0 <= y <= 1) ( dydt) = x ja ja samoin F2(y) = y ja F(x,y) = F1(x) F2(y).
En oikein ymmärtänyt tuota neliöjuttua! Minä pähkäilin, että jos x ja y ovat jatkuvia, niin integroimalla toisen yli saadaan reunajakaumat f(x) = (1/2)x ja f(y) = (1/2)y. Näiden tulo poikkeaa f(x,y):stä, joten muuttujat ovat riippuvia. Laskin tällä tavalla (integroinnit nollasta yhteen):
E(x) = int xf(x)dx = 1/6 = E(y) [symmetria; sama tulos tuplaintegroimalla f(x,y):stä]
E(x^2) = int x^2f(x)dx = 1/8 = E(y^2)
V(x) = 1/8 - 1/36 = 7/72 = V(y)
E(xy) = int int xyf(x,y)dxdy = 1/9
Kov = 1/9 - 1/36 = 6/72
Korr = (6/72)/(7/72/) = 6/7.
Kyllä tuosta ainakin järkeenkäyvä tulos tulee, jos tehtävä ei sitten järkeilysi mukaan ole järjetön. Reagoisiko aloittaja!
Jospa minä kommentoin. Tuo tiheysfunktio ei voi olla xy sillä tällöin neliön (0,1) x (0,1) todennäköisyysmitaksi tulisi tuon neliön yli otettu integraali Int(xy dx dy) = Sij((x^2/2) ( y^2/2)) = 1/4. Koska muualla tiheysfunktio on 0 on tuo neliön tnmitta = koko tnavaruuden tnmitta mutta senhän pitäisi olla 1.
Jos taas käytetään tiheysfunktiota 4xy, on neliön mitta 1, reunatiheydet ovat 2x ja 2y ja niiden tulo on juuri tuo 4xy joten X ja Y ovat riippumattomia.
Mielestäni selitin tämän ihan selvästi jo ensimmäisellä kerralla.
Ohman
Lisään vielä, että kun X ja Y ovat riippumattomia, on E(XY) = E(X) E(Y) ja
Kov(XY) = E(XY) - E(X) E(Y) = 0.
Ohman
Tietysti kovarianssi on nolla riippumattomille muuttujille, mutta minullekaan ei tuo neliöhomma oikein selvinnyt. Tuli mieleen, että ajattelet asiaa tasajakauman tai diskreettisten muuttujien kautta, mutta näissä korrelaatiolakelmissahan yleensä on oletuksena muuttujien normaalijakautuneisuus. Jos ei, niin mistä tuo neliö tulee? Minullakin oli mielessä tuo Kalle-V:n lähestymistapa, eikä siinä laskennallisesti ole vikaa, mutta nyt elää epäilys koko tehtävästä.
Ei korrelaatiolaskuissa tarvitse olla "normaalijakautuneisuus". Voivathan ne X ja Y jakautua miten vain ja korrelaatio on laskettavissa.
Jos nyt oikein ymmärrän kysymyksesi neliöstä niin se tuli siitä että Bonobon-äly määritteli yhteisjakauman alueessa 0 < x,y < 1. Ymmärsin tämän tarkoittavan neliötä (0 < x < 1) x (0 < y < 1). Siinähän oli tuo pilkku x:n ja y:n välissä.
Ohman
Lisään vielä että en kyllä ymmärrä miten saatoit ajatella minun käsitelleen asiaa esim. diskreettien muuttujien kautta. Näkyyhän tekstistäni selvästi mitä tiheysfunktioita , kertymäfunktioita ja reunatiheysfunktioita käytin.
???
Ohman
Minä kyllä tulkitsin tuon merkinnän siten, että 0 < x < 1 ja 0 < y < 1.
Pelleiletkö sinä? Vai etkö ymmärrä matematiikan merkintöjä? Eikös tuo mainitsemasi alue ole juuri se mitä olen koko ajan käyttänyt? Eikö
se ole joukkojen A = (0 < x < 1) ja B = (0 < y < 1) karteesinen tulo A x B eli
A x B = ( (x,y) l 0 < x < 1 ja 0 < y < 1) ja tämä on tuo x,y -tason neliö josta olen koko ajan puhunut.
Alkuperäisessä tehtävässä määriteltiin satunnaismuuttujien X ja Y yhteistiheysfunktioksi xy kun
(X,Y) kuuluu joukkoon A x B ja tf on 0 muualla.
Osoitin, että xy ei voi olla tf koska silloin koko tnavaruuden tnmitaksi tulisi
Int Int (xy dx dy) = Sij Sij(x^2/2 y^2/2) = 1/4 (integrointi siis alueessa A x B, muualla tf oli 0).
JNE. Enempää en jatka selitystä sillä toistaisin vain jo alun perin kirjoittamaani. Yritä nyt ymmärtää tämä juttu.
Ja jos trollailet (siltä kyllä alkaa näyttää) ovat selitykset myös hyödyttömiä.
Ohman