Soitat puhelimella ystävällesi. Saat kuulla, että hän on parhaillaan tarkastamassa lottoriviään. Hän ei kerro, kuinka monta numeroa hän on jo tarkistanut, mutta kertoo jo tarkastetuissa numeroissa olevan viisi oikein. Mitkä on todennäköisyydet, että hän on tuolla hetkellä tarkistanut
-viisi,
-kuusi tai
-seitsemän numeroa seitsemästä?
Mikä ovat todennäköisyydet, että hänen rivissään on lopulta oikein
-viisi
-kuusi
-seitsemän numeroa seitsemästä?
Tarkastellaan siis lottosysteemiä, jossa arvotaan seitsemän numeroa 39:stä. Varanumeroita ei huomioida.
-viisi,
-kuusi tai
-seitsemän numeroa seitsemästä?
Mikä ovat todennäköisyydet, että hänen rivissään on lopulta oikein
-viisi
-kuusi
-seitsemän numeroa seitsemästä?
Tarkastellaan siis lottosysteemiä, jossa arvotaan seitsemän numeroa 39:stä. Varanumeroita ei huomioida.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Tähän löytyy aiemmasta viestistä jo ratkaisu. Selaile vähän viestiketjua alaspäin.
Ei tämä ole sama tehtävä. Siinä edellisessä, jos nyt tarkoitamme samaa tehtävää, oli arvottu viisi numeroa, ne olivat voittonumeroita, ja kysyttiin todennäköisyyksiä jatkotapahtumalle jossa arvotaan loput 2 numeroa.
Tässä tehtävässä ei tiedetä, että viisi on arvottu.Kerrotaan kyllä että viisi oli oikein tähän mennessä arvotuista mutta ei kerrota, montako on arvottu, 5,6 vai 7.
Ohman
Toi jälkimmäinen menee silti samalla tavalla (kuin siinä 5 arvottu tapauksessa) ja toi ekan kysymyksen vastaus on triviaali.
Ethän, nimimerkki 'MatikanOpe' oikeasti toimi missään koulussa matematiikan opettajana? Jos näin on, niin ymmärtämättömyydelläsi aiheutat vakavia ongelmia oppilaillesi.
Tämä kysymys taitaa nyt kuitenkin olla luonteeltaan sellainen, etteivät siihen useimmat nykyisistä suomalaisten yliopistojen matematiikan ja tilastotieteen professoreista ja dosenteistakaan osaa oikein vastata. Ongelman ratkaisu vaatii nimittäin syvällistä matemaattisen tilastotieteen ja todennäköisyyslaskennan perusteiden ymmärtämystä. ;)
Mutta odottelemme fiksuja vastauksia.
Et taida tuntea matemaatikkojen tasoa tai sitten kirjotit viestin vitsinä. Tämä on ihan perustehtävä, joten lukiolainenkin osaa sen, saati sitten matematiikan professori tai dosentti. Mutta varmaankaan professoreilla ja dosenteilla on niin kiire, etteivät he ehdi miettimään tällaisia perustehtäviä.
Kai todennäköisyys, että hän on tarkistanut viisi numeroa, on täydet sata prosenttia? Mistä hän muuten tietäisi, että viisi on oikein. Minä en ainakaan pysty sanomaan neljän sitä vähemmän tarkistetun numeron jälkeen, että rivissä on viisi oikein.
No minä yritän vastata. Saa nähdä, käykö taas niin, että "yrittänyttä laitetaan".
Tässä on "hypoteesejä" :on tarkastanut k numeroa", olkoon tämä Tk, k = 5 tai 6 tai 7.
Ja tapahtumat: n oikein = On, n =5,6,7
Otetaan nyt O5. Käytetään Bayesin kaavaa:
P(Tk l O5) = (P(Tk) * P(O5 l Tk)) / (P(T5) * P(O5 l T5) P(T6) * P(O5 l T6) P(T7) * P(O5 l T7) )
Tässä on nyt tapahtuma O5 joka tietyin todennäköisyyksin voi seurata "syistä" T5,T6,T7 eli voidaan selittää vaihtoehtoisilla hypoteeseillä T5,T6 tai T7. Bayesin kaava antaa näiden hypoteesien todennäköisyydet tapahtuman O5 selityksinä olettaen, että näiden hypoteesien apriori-todennäköisyydet tunnetaan. Näin selittää ainakin G. Elfving kirjassaan todennäköisyyslaskenta (tähän probleemaan sovellettuna) ja jatkaa: Viimeksi mainittu edellytys on tietysti välttämätön. Ellei eri syiden (tässä tapauksessa nuo Tk:t) todennäköisyyksiä tunneta (tai elleivät syyt ole lainkaan satunnaisluonteisia), on turha yrittää täyttää tämä aukko mielivaltaisilla oletuksilla, esim. olettamalla apriori-todennäköisyydet yhtä suuriksi.
Emme tiedä tässä todennäköisyyksiä P(Tk) joten äskeisen mukaan ongelmaa ei voi ainakaan Bayesin kaavalla ratkaista.
Tämä nyt tuosta tehtävän ensimmäisestä osasta.
Ohman
Jos ystäväsi on saanut yksin lottovoiton niin hän on jo entinen ystäväsi. Ei lottovoittajaa kiinnosta köyhien kerjuusoitot.
Lottovoittaja saa uusia ystäviä varakkaiden piiristä.
Keskity sinäkin uusien ystävien hankintaan.
Kai tuo lasketaan niin että lasketaan erikseen todennäköisyydet että on viisi oikein kun on tarkastanut viisi numeroa, viisi oikein kun on tarkastanut kuusi numeroa ja viisi oikein kun on tarkastanut seitsemän numeroa. Lasketaan nämä todennäköisyydet yhteen ja otetaan kunkin todennäköisyyden suhde tuohon yhteistodennäköisyyteen. En viitsi tehdä laskelmia.
Oikeastihan tuo on sellainen kysymys, johon ei ole vastausta. Sita ei noilla tiedoilla voi paatella. :)
p(5) p(6) p(7) = 1
p(5) = a*p(7), a = (7 6)(32 1)
p(6) = b*p(7), b = (7 5)(32 2)
a*p(7) b*p(7) p(7) = 1
p(7) = 1/(1 a b) = 1/10640
p(6) = b*p(7) = 2/95
p(5) = a*p(7) = 93/95