Tarvitsisin apua seuraavan lauseen ymmärtämiseen:
Olkoon satunnaisvektorilla (X,Y) jatkuva yhteisjakauma, jonka yhteistiheysfunktio on f_X,Y.
a) Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin f_X,Y(x,y) = f_X(x) * f_Y(y).
(Tuossa siis f_X ja f_Y ovat reunatiheysfunktioita.)
b) Jos f_X,Y voidaan esittää tulomuodossa f_X,Y(x,y) = g(x) * h(y) kaikilla x,y, jossa g≥0 ja h≥0 ovat yhden muuttujan funktioita, niin X ja Y ovat riippumattomia.
Tarkastellaan sitten esimerkkiä, jossa f_X,Y(x,y) = 6(1-y), kun 0≤x≤y≤1.
Nyt voidaan kirjoittaa f_X,Y(x,y) = g(x) * h(y), missä g(x)=6 ja h(y)=1-y. Kuitenkaan X ja Y eivät ole riippumattomia, koska yhteistiheysfunktiota ei voida esittää reunatiheysfunktioiden tulona. Miten tätä kannattaisi miettiä, kun lauseen kohdat vaikuttavat ristiriitaisilta?
Olkoon satunnaisvektorilla (X,Y) jatkuva yhteisjakauma, jonka yhteistiheysfunktio on f_X,Y.
a) Jos X ja Y ovat riippumattomia, niin f_X,Y(x,y) = f_X(x) * f_Y(y).
(Tuossa siis f_X ja f_Y ovat reunatiheysfunktioita.)
b) Jos f_X,Y voidaan esittää tulomuodossa f_X,Y(x,y) = g(x) * h(y) kaikilla x,y, jossa g≥0 ja h≥0 ovat yhden muuttujan funktioita, niin X ja Y ovat riippumattomia.
Tarkastellaan sitten esimerkkiä, jossa f_X,Y(x,y) = 6(1-y), kun 0≤x≤y≤1.
Nyt voidaan kirjoittaa f_X,Y(x,y) = g(x) * h(y), missä g(x)=6 ja h(y)=1-y. Kuitenkaan X ja Y eivät ole riippumattomia, koska yhteistiheysfunktiota ei voida esittää reunatiheysfunktioiden tulona. Miten tätä kannattaisi miettiä, kun lauseen kohdat vaikuttavat ristiriitaisilta?
Vastaukset 7
Vanhimmat
Eivät esimerkkisi funktiot ole tiheysfunktioita. Niiden integraalin koko avaruutensa yli otettuna pitäisi olla 1 koska koko avaruuden mitta = 1. Sinulla Int(0 <= x <= 1) (6dx) = 6 ja Int ((1-y)dy) = Sij(y - y^2/2) = 1/2
Koko avaruuden 0 <= x,y <= 1) yli otettu funktion 6(1 -y) intgraali on 3 eikä siis sekään ole 1 kuten pitäisi.
Ohman
Ymmärsin, että tuossa b-kohdassa funktioiden g ja h ei tarvitse olla tiheysfunktioita.
Tuo alue on siis kolmio, joka sijaitsee suoran y=x yläpuolella, suoran y=1 alapuolella ja y-akselin oikealla puolella.
Luin väärin kun siinä korrelaatiopyörittelyä-tehtävässä alue oli 0 <= x,y <= 1. Sinun alueesi on siis tosiaan tuo kolmio ja Int(0 <= y <= 1, 0 <= x <= y) (6(1-y) dx dy) =
Int(0 <= y <= 1) (6y - 6y^2)dy = Sij (0,1) (3y^2 - 2 y^3) = 1 eli tf tuo on.
Mutta välttämätön ja riittävä riippumattomuuden ehto on, että yhteistiheysfunktio on reunatiheyksien tulo.
Ohman
"Mutta välttämätön ja riittävä riippumattomuuden ehto on, että yhteistiheysfunktio on reunatiheyksien tulo"
Näin minäkin olen ajatellut. Luentomateriaalissa kuitenkin väitetään, että se ei riitä riippuvuuden todistamiseksi, koska moni hieman erilainen funktio voi olla saman jakauman tiheysfunktio.
1. Esimerkkisi satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia, niiden välillähän on ehto X <= Y.
2. Jos muodostat tuon yhteistiheysfunktion f(x,y) = 6(1 - y) avulla (ja lasket oikein) nuo reunatiheysfunktiot fX(x) ja fY(y) niin näet,että tuo f(x,y) ei ole näitten tulo.
3. Ehto on välttämätön ja riittävä. Tämähän seuraa ihan alkuperäisestä riippumattomuuden määritelmästä.X ja Y ovat mitallisia kuvauksia tnavaruudesta joukkoon R (reaaliakseli) Jos A ja B ovat reaaliakselin Borel-joukkoja joukkoja niin täytyy olla P(X kuuluu A:han ja Y kuuluu B:hen) = P(X kuuluu A:han) P(Y kuuluu B:hen). Tämä voidaan sitten lausua kertymäfunktion avulla tai jos tiheysfunktiokin on olemassa niin ehto voidaan lausua tiheysfunktion avulla.
Jos on toinen tiheysfunktio g(x,y) joka antaa saman kuin f(x,y)(tällöin f ja g voivat saada eri arvoja vain nollamittaisessa joukossa)niin kyllä tähän g-funktioon pätee sama v ja r - ehto: kun lasketaan g:n avulla reunatiheysfunktiot niin g on niiden tulo sjvs kun X ja Y ovat riippumattomia.
Enempää tuskin osaan tästä asiasta sanoa.
Ohman
Piti sanomani: ... g(x,y) joka antaa saman jakauman kuin f(x,y)..
Kiitos.