Tiedetään, että x, y ja z ovat reaalilukuja. Lisäksi tiedetään, että
( x y z )^2 = 2( xy xz yz ).
Todista tämän nojalla, että tällöin välttämättä x = y = z eli kaikki kolme lukua ovat keskenään yhtä suuret.
( x y z )^2 = 2( xy xz yz ).
Todista tämän nojalla, että tällöin välttämättä x = y = z eli kaikki kolme lukua ovat keskenään yhtä suuret.
Vastaukset 19
Vanhimmat
Roskaa.
(x y z)^2 = x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2 zx
x^2 y^2 z^2 >= xy yz xx ja yhtäsuuruus tapahtuu sjvs kun x=y=z, joten
(x y z)^2 = 3(xy yz zx) sjvs kun x=y=z.
Nähnet myös että kun x=y=z, lausekkeesi vasen puoli on9 x^2 mutta oikea puoli on 6 x^2.
Eikö näissä tehtävänannoissa voisi vaivautua sen verran että antaa tehtävän oikein?
Ohman
Tuli näköjään taas kirjoitusvirhe tuolla kolmannella rivillä. Ei xx vaan p.o. zx.
Lataa itse MAA2-soveltavat tehtävät.pdf ja katso sieltä itse tehtävä: 32, c-kohta!
Niin ehkä sitten näet, että tehtävä on tismalleen samanlaista paskaa.
Miksi minä mitään lataisin? Kommentoin vain juttuasi.
Ohman
No minkä minä vittu sille sitten voin jos tekijä on sen noin tehnyt!?
No eikö tosta normaali ihminen päättele, että x=y=z on reaaliluku nolla ?
Ohmanin alku on oikein: (x y z)^2=x^2 y^2 z^2 2xy 2yz 2zx ja toisaalta koska oletuksen mukaan (x y z)^2=2(xy xz yz), on oltava x^2 y^2 z^2=0. Siispä x=y=z=0.
Annapa linkki.
Kannattaa ensin itse tarkistaa, mitä kirjoittaa ennen kuin heittäytyy ylimieliseksi. Tehtävänannosta näkee suoraan, että x^2 y^2 z^2=0 eli x=y=z=0. Hienosti olet kyllä suuruusjärjestysepäyhtälöä soveltanut ja saanut kasattua yhtälön, jonka ratkaisuna ovat kaikki x=y=z eikä vain erikoistapaus, jossa kaikki luvut ovat nollia.
Olisikohan niin että = merkin jälkeen pitäisi olla 3 eikä 2?
Oletettavasti pitäisi siis olla:
(x y z)^2 = 3(xy xz yz)
Kehitellään tuota:
x^2 y^2 z^2 = xy yz xz
x(x-y) y(y-z) z(z-x)=0
x(x-y) y(y-z)-z(x-y)-z(y-z)=0
(x-y)(x-z) (y-z)^2=0
Koska alkuperäinen yhtälö on symmetrinen x,y,z suhteen, voidaan olettaa
x>=y>=z
Jos x>y>z ovat summan molemmat kaikki tekijät >0 eikä yhtälö voi pitää paikkansa.
Jos x=y>z, on summan ensimmäinen termi o ja jälkimmäinen >0 joten yhtälö ei voi pitää paikkansa.
Jos x>y=z, on summan ensimmäinen termi >= ja jälkimmäinen 0 joten yhtälö ei voi pitää paikkansa.
Siis pitää olla: x=y=z.
ohman alkaa hermostua
Enpä nyt pahemmin mutta ei tehtävässä ole paljonkaan järkeä jos siinä on tuo 2, varmaan on tarkoitettua lukua 3 kuten oletin. Muutenhan tuo tehtävän vaatimus että luvut ovat keskenään yhtäsuuret ei ole oikein järkevä vaikka ovathan ne yhtäsuuria jos kaikki ovat nollia.
Minun todistukseni on oikea ja seurasi siis erittäin tunnetusta Cauchyn epäyhtälöstä.Tätä ei ole tapana erikseen todistella, se olisi vähän samaa kuin joka kerran ympyrän pinta-alaa laskiessa vaadittaisiin todistamaan että ala on pii r^2.
Ohman
Niin, kyllähän se vaikuttaisi tehtäväksi järkevämmältä jos siinä on tuo 3. Jos tehtävän tarkoitus ei sitten ole havainnollistaa sitä asiaa, että joskus on helpompi osoittaa vahvempi väite kuin mitä tehtävässä pyydetään. Esimerkiksi
--
Osoita, että jos m^2 = 1 kokonaisluvulle m, niin m on pariton.
--
No, tuo nyt vain tuli mieleen, mutta onhan niitä aivan oikeitakin tehtäviä, joissa tämä taktiikka on hyödyllinen. Esimerkiksi yksi tehtävä:
--
Osoita, että n (mielivaltaisen) kokonaisluvun joukosta voidaan valita sellainen epätyhjä osajoukko, jonka summa on jaollinen n:llä.
--
Täältä löytyy:
http://www.math.cmu.edu/~ploh/docs/math/mop2010/pigeonhole.pdf
Siinä on ratkaisu myös, joten älkää katsoko jos haluatte itse pähkäillä :D.
Tässä ovat tehtävät. Tässä kyseisessä tehtävässä ei todellakaan ole missään mitään kolmosta, että älä ala olettamaan mitään!
http://www.speedyshare.com/zCkQq/MAA2-Soveltavat-tehtavat.pdf
Tehtävä 32 C.
mikäs mies tää ohman on oikeen kun huomauttaa hänen tekemistään virheistä niin hän alkaa pikkuhiljaa hermostua? Silloin kun on väärässä niin kannattaa myöntää se ja laskea ensi kerralla oikein.
Et näytä ymmärtävän juttuani tai tai sitten vain trollailet.
Onhan se varmaan niin että siellä mistä aloittaja sai tuon tehtävän todella oli 2.
Mutta silloin tehtävä on ensinnäkin ihan triviaali, sen näkee riviäkään kirjoittamatta että ainut mahdollisuus tuolle yhtäsuuruudelle on x=y=z=0. Mutta tämä ei sovi hyvin yhteen tehtävän sanamuodon kanssa, jossa sanottiin, että välttämätön ehto on, että x = y = z.Onhan se tietysti tässäkin vältämätöntä mutta kun kumminkin ainoat luvut ovat nuo x= 0, y = 0 ja z = 0 niin onhan tuo kummallisesti sanottu.
Tehtävä kuulostaa oikeammalta kun siinä on tuo 3, silloin yhtäsuuruuteen tarvitaan välttämättä että x = y =z mutta kaikki tällaiset kelpaavat. Se on myös riittävä ehto.
Jotta tehtävä ei siis olisi täysin alkeellinen ja tehtävänannon sanamuoto toteutuisi (minun mielestäni) paremmin, rohkenin olettaa että kyseessä on virhe ja 2:n asemesta siinä pitää olla 3.
Alkuperäinen kysyjä ei tehtävänannossaan maininnut, että tehtävä on otettu jostain jossa lukee noin joten oletin hänen itsensä tehneen kirjoitusvirheen. Kyllä tällaisia virheellisiä tehtävänantoja esiintyy.
Mitä hermostumiseen tulee, niin mart...00 sanoi viestissään minun alkavan hermostua. En tiedä miksi, sillä olinhan siihen mennessä esittänyt ihan täysin hermoilematta tuon ensimmäisen kommenttini. Enkä huomaa hermoilleeni myöhemminkään. Jopa sinulle vastailen tässä aika asiallisesti.
Ja missähän keskustelussa en ole myöntänyt jos olen tehnyt virheen? Esim. pässinliekajutussa ja polynomijutussa myönsin tehneeni virheen ja korjasin. Muurahaisjutussa myönsin, että jatkuva ratkaisu oli parempi kuin minun ja erään toisen diskreetti ratkaisu. Väitteesi on perätön.
Eiköhän olisi aika sinun lopettaa nuo "vihapuheet"?
Ohman
"Osoita, että n (mielivaltaisen) kokonaisluvun joukosta voidaan valita sellainen epätyhjä osajoukko, jonka summa on jaollinen n:llä."
Eiköhän mene jakojäännöstarkastelulla. Lasketaan lukuja yksitellen yhteen. Jos tulee jj 0, on siihenastinen summa jaollinen n:llä. Jos tulee jo aiemmin esiintynyt jj, on noiden välinen summa jaollinen n:llä. Summan jäseniä on n kpl ja mahdollisia jj =/0 on n-1 kpl joten väkisin tulee joko jj 0 tai aiemmin esiintynyt jj.
Aivan oikein! Tämä nyt meni vähän offtopikiksi tähän ketjuun. Mutta joskus siis kannattaa osoittaa vahvempi väite kuin tehtävässä pyydetään. (Kuten tuossa, että ne luvut voidaan valita jopa "yhteen putkeen", "vierekkäiset", kun järjestys on annettu.)