Tupun, Hupun ja Lupun kesken jaetaan n kpl samanlaisia karkkeja. Kuinka monella tavalla jako voidaan tehdä? Myös kokonaan ilman jääminen on mahdollista.
Karkkijako
Karkkisetä
13101
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Vihje. Saat yhtälön T H L=n ja reunaehdot -10Äänestä
mahdollisuuksia on äärettömästi. koska jos karkkien määrä voi olla mitä vaan nollasta äärettömään niin jakaa voi miten vaan.
Tapoja on 3^n. Jokaisen karkin kohdalla on 3 vaihtoehtoa: annetaan Tupulle,annetaan Hupulle tai annetaan Lupulle. Mahdollisuuksia siis 3 x3x....x3 = 3^n.
Matemaattisemmin asian voi sanoa näin :nNn elementin joukolta on 3^n eri kuvausta 3:n elementin joukkoon.
Ohman
...näin: n:n elementin joukolta...
Noita lyöntivirheitä näkyy tulevan.
Ohman
Sori. Perun puheeni. Nyt vasta huomasin että karkit ovat samanlaisia, siis keskenään identtiset.
Ohman
Ratkaisu tuohon on multinomikerroin.
Ks. https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem
Esimerkiksi, jos jaettavana on 6 karkkia, niin ratkaisu onnistuu seuraavasti:
(T H L)^6
= H^6 6*H^5*L 6*H^5*T 15*H^4*L^2 30*H^4*L*T 15*H^4*T^2
20*H^3*L^3 60*H^3*L^2*T 60*H^3*L*T^2 20*H^3*T^3
15*H^2*L^4 60*H^2*L^3*T 90*H^2*L^2*T^2 60*H^2*L*T^3
15*H^2*T^4 6*H*L^5 30*H*L^4*T 60*H*L^3*T^2 60*H*L^2*T^3
30*H*L*T^4 6*H*T^5 L^6 6*L^5*T 15*L^4*T^2 20*L^3*T^3
15*L^2*T^4 6*L*T^5 T^6
Termien lukumäärä antaa mahdollisten jakojen määrän, eksponentit kertovat, montako karkkia kullekin tulee ja termien kertoimet, multinomikertoimet, kertovat sen, monellako tavalla ko. jako voi toteutua.
Taitaa mennä helposti aritmeettisella sarjalla. i karkkia voidaan jakaa kahdelle i 1 tavalla. Hupu saa k = 0....n karkkia ja muille jää kussakin tapauksessa n-k 1 jakotapaa. En nyt jää laskemaan lauseketta, mutta toisen asteen polynomi n:n suhteen tuosta tulee. Vai menikö tässä nopeassa hajatelmassa jotain pieleen?
Joo saman kaavan sain minäkin, siitähän tulee
(n 1) n n ... 1 = (n 2)(n 1)/2
n-1 pitäisi olla tuossa kolmas termi.
Ajattele, että teet jaon seuraavasti: Karkit ovat rivissä pöydällä. Nyt laitat kaksi tikkua tuonne karkkien väliin. Nämä erottavat kuinka monta karkkia kullekin tulee. Jokainen erilainen "tikku-karkki-järjestys" on erilainen karkkien jako ja jokainen jako saadaan jostakin "tikku-karkki-järjestyksestä".
n karkkia ja 2 tikkua voidaan järjestää (n 2)! tavalla (jos oletetaan kaikki objektit toisistaan eroaviksi), mutta näissä on samoja: karkit voidaan permutoida keskenään ja tikut keskenään. Joten täytyy jakaa näiden permutaatioiden lukumäärillä.
Siis vastaus on (n 2)!/(2! * n!) = (n 2)(n 1)/2
Voidaan ajatella sama myös näin:
Koska karkit ovat identtisiä niin ainoastaan se määrä minkä kukin saa ratkaisee mikä jako on kyseessä.
Kun Tupu saa T karkkia 0 <= T <= n niin Hupu voi saada minkä tahansa karkkimäärän H missä 0 <= H <= n - T. Lupun saama karkkimäärä määräytyy tästä yksikäsitteisesti ja on L = n - (H T).
Kun Tupu saa T karkkia on siis Hupulle vaihtoehtoja 0,1,..., n - T eli n - T 1 kappaletta vaihtoehtoja.
Kaikkiaan mahdollisuuksia on siis Summa(0 <= T <= n) (n - T 1) = Summa ( 1 <= k <= n 1) k = (n 2) (n 1) / 2.
Ohman
Tuo jakotikkumenetelmä on minunkin mielestäni yksinkertaisin tapa hahmottaa ongelma. n samanlaista karkkia ja kaksi samanlaista jakotikkua muodostavat n 2 elementtiä jolloin erilaisia tikkujen paikkoja on 2-kombinaatioiden lkm n 2 alkion joukossa. Matemaattisesti on kyse Sinisalon mainitsemista multinomikertoimista.