Kertokaapas nyt joku minulle miksi näin?
Eli jos lasket yhteen minkä tahansa kolminumeroisen luvun missä tahansa järkestyksessä niin, että jäljelle jää vain yksi numero, on luku aina sama?
Eli
123
1 2 3=6
12 3=15=1 5=6
1 23=24=2 4=6
Tai
Summamutikassa 562
5 6 2=13=1 3=4
56 2=58=5 8=13=1 3=4
5 62=67=6 7=13=1 3=4
6 52=58=13=1 3=4
598
5 9 8=22=2 2=4
Loput voittekin arvata.
Onko tälle joku selitys? Huomasin tämän itse kun pienestä tytöstä asti laskeskellut rekkareiden lukuja yhteen. Aloin niitä kääntelemään pitkillä automatkoilla ja nyt ihmettelen näin aikuisena kun mistään en löydä mitään mikä tämän selittäisi.
Eli jos lasket yhteen minkä tahansa kolminumeroisen luvun missä tahansa järkestyksessä niin, että jäljelle jää vain yksi numero, on luku aina sama?
Eli
123
1 2 3=6
12 3=15=1 5=6
1 23=24=2 4=6
Tai
Summamutikassa 562
5 6 2=13=1 3=4
56 2=58=5 8=13=1 3=4
5 62=67=6 7=13=1 3=4
6 52=58=13=1 3=4
598
5 9 8=22=2 2=4
Loput voittekin arvata.
Onko tälle joku selitys? Huomasin tämän itse kun pienestä tytöstä asti laskeskellut rekkareiden lukuja yhteen. Aloin niitä kääntelemään pitkillä automatkoilla ja nyt ihmettelen näin aikuisena kun mistään en löydä mitään mikä tämän selittäisi.
Vastaukset 16
Vanhimmat
Kaikkea ei tarvitse selittää. Jumala on näin määritellyt eikä hän tee turhaa työtä, joten jokin syy asialle on. Se, että mikä se on, ei ole meidän asia vaan riittää kun uskomme Jumalan kätten työhön ja nautimme sen hedelmistä.
Tuolla asenteella jos olisi meitä edeltävät ihmiset olleet liikkeellä niin mitään tekniikkaa tai muuta kehitystä ei olisi koskaan tapahtunut. Jos joku olisi kysynyt että miksi me olemme luolissa ja käyttäydymme tyhmästi olisi joku uskovaisapina löynyt nuijalla ja sanonut että "Jumalan tahto! Jumalan tahto!". Ja todennäköisesti päästänyt vielä jonkun mielenvikaisen kiljahduksen. Ehkä näin kävikin mutta kehittyneemmät yksilöt veivät voiton ja tekniikka kehittyi, vaikka näitä vajaamielisiä vielä maailmassa riittää jarruttamassa sivistystä ja kehitystä.
Höpö höpö... jumalat. Jumalilla on läpi historian perusteltu asioita mitä ei VIELÄ ole laskettu/selitetty/ymmärretty. Eiköhän tämä ole. Ja jos ei, sen tekee joku.
Miten tyhmä ihminen uskossaan voikaan olla. Ei voi kuin ihmetellä. Sille tuskin kaavaa löytyy. En kuitenkaan pyytänyt laskemaan jumalan kaavaa.
Universumi sen sijaan on laskettavissa ja matemaattinen. Ja meille on annettu kyky matematiikkaan. Eihän luonnontieteet kuten matematiikka vastaa kysymykseen kuka, vaan kysymykseen miten.
Herää.
Koska luvun ja sen numeroiden summa ovat modulossa 9 samat (eli jättävät saman jakojäännöksen jaettuna yhdeksällä). Kun lasket yksinumeroiseen lukuun asti tuota numeroiden summaa, niin se yksikäsitteisesti määrätty, sillä se ei voi olla 0 (tämä tulee vain, jos lähdet laskemaan luvusta 0, muissa on aina jokin positiivinen numero).
Sillä ei tosiaan ole väliä miten tuon luvun jakaa osiin tuossa välilaskennassa, aina päädytään tuohon numeroiden summaan modulo 9.
Aika hyvä huomio!
Voit jopa järjestää numerot uudelleen. Esim
123 ja 312 ja 213 tuottavat saman eli kuutosen
31 2 = 33 -> 3 3 = 6
2 13 -> 15 -> 6
Tämä on oleellisesti modulo 9 sääntö. Luku abc voidaan kirjoittaa muotoon a*100 b*10 c, josta modulo 9 antaa a b c. Siten luvut ovat kongruentit modulo 9. Tämä tarkoittaa sitä, että luvun abc numeroiden summa on sama kuin a b c paitsi jos a b c ei ole nolla. Mutta tämähän ei voi olla nolla, koska ei ole olemassa kolminumeroista lukua, jonka numeroiden summa on 0. Vastaava yleistyy n-numeroisille luvuille.
Muuten juu mutta kuitenkin modulo 10. Pätee siis
0 mod 10=0
1 mod 10=1
2 mod 10=2
...
9 mod 10 =9
10 mod 10 =0
jne.
Mitä tarkoitat? 100a 10b c=c mod 10. En näe tästä mitään hyötyä tehtävän ratkaisuun. Sen sijaan modulo 9 todistaa ap:n havainnon oikeaksi.
Olenko siis tietämättäni nero, koska juuri tuon yhdeksikön olemassa olon päättelin. ;) En ole perusteluiden perään, lähinnä kaavaa haen. Eli se siitä neroudestani.
Uskon, että kaikkien mahdollisten alkulukujen summa on kolme. Ja kaikki liittyy lukuun 3, 7, 9.
Jos tarkoitat, että alkuluvulle tämä numeroiden summaus päättyy aina lukuun kolme, niin tämä ei ole totta. Alkuluvun luokka modulossa 9 (ns. jäännösluokka) voi olla
1
2
3 (ainoastaan 3 voi olla)
4
5
7
8
Se ei kuitenkaan voi olla 6 tai 9 (eli 0), sillä näillä luvuilla on yhteinen tekijä 9:n kanssa.
Itse asiassa Dirichlet'n lause sanoo, että kaikissa noissa tapauksissa, joissa alkulukuja voi olla siinä luokassa (paitsi 3, jossa on vain alkuluku 3, muilla on yhteinen tekijä 3 ysin kanssa) on äärettömän monta alkulukua.
Kolminumeroisille alkuluvuille käy näin
101 -> 2, 103 -> 4, 107 -> 8, 109 -> 1, 113 -> 5, 127 -> 1, 131 -> 5, 137 -> 2, 139 -> 4, 149 -> 5, 151 -> 7, 157 -> 4, 163 -> 1, 167 -> 5, 173 -> 2, 179 -> 8, 181 -> 1, 191 -> 2, 193 -> 4, 197 -> 8, 199 -> 1, 211 -> 4, 223 -> 7, 227 -> 2, 229 -> 4, 233 -> 8, 239 -> 5, 241 -> 7, 251 -> 8, 257 -> 5, 263 -> 2, 269 -> 8, 271 -> 1, 277 -> 7, 281 -> 2, 283 -> 4, 293 -> 5, 307 -> 1, 311 -> 5, 313 -> 7, 317 -> 2, 331 -> 7, 337 -> 4, 347 -> 5, 349 -> 7, 353 -> 2, 359 -> 8, 367 -> 7, 373 -> 4, 379 -> 1, 383 -> 5, 389 -> 2, 397 -> 1, 401 -> 5, 409 -> 4, 419 -> 5, 421 -> 7, 431 -> 8, 433 -> 1, 439 -> 7, 443 -> 2, 449 -> 8, 457 -> 7, 461 -> 2, 463 -> 4, 467 -> 8, 479 -> 2, 487 -> 1, 491 -> 5, 499 -> 4, 503 -> 8, 509 -> 5, 521 -> 8, 523 -> 1, 541 -> 1, 547 -> 7, 557 -> 8, 563 -> 5, 569 -> 2, 571 -> 4, 577 -> 1, 587 -> 2, 593 -> 8, 599 -> 5, 601 -> 7, 607 -> 4, 613 -> 1, 617 -> 5, 619 -> 7, 631 -> 1, 641 -> 2, 643 -> 4, 647 -> 8, 653 -> 5, 659 -> 2, 661 -> 4, 673 -> 7, 677 -> 2, 683 -> 8, 691 -> 7, 701 -> 8, 709 -> 7, 719 -> 8, 727 -> 7, 733 -> 4, 739 -> 1, 743 -> 5, 751 -> 4, 757 -> 1, 761 -> 5, 769 -> 4, 773 -> 8, 787 -> 4, 797 -> 5, 809 -> 8, 811 -> 1, 821 -> 2, 823 -> 4, 827 -> 8, 829 -> 1, 839 -> 2, 853 -> 7, 857 -> 2, 859 -> 4, 863 -> 8, 877 -> 4, 881 -> 8, 883 -> 1, 887 -> 5, 907 -> 7, 911 -> 2, 919 -> 1, 929 -> 2, 937 -> 1, 941 -> 5, 947 -> 2, 953 -> 8, 967 -> 4, 971 -> 8, 977 -> 5, 983 -> 2, 991 -> 1, 997 -> 7
Näistä tulee siis
24 ykköstä, 25 kakkosta, 0 kolmosta (tietenkin; 3 oli ainoa ja se ei ole tässä alueessa), 24 nelosta, 24 vitosta, 0 kutosta, 21 seiskaa, 25 kasia, 0 ysiä.
Jos katsotaan vielä suurempaa aluetta, otetaan nyt [1, 1 000 000], niin jakauma on tällainen:
[0, 13063, 13099, 1, 13070, 13068, 0, 13098, 13099, 0]
Aika tasaisesti siis näyttäisi noita mahdollisia tulevan (paitsi kolmosta, jota tietenkin tulee vain yksi kappale!).
12 kuukautta on 1 2=3
12 opetuslasta= 3
12 israelin sukukuntaa= 3
Jumala loi kaiken kuudessa päivässä = 6/2=3
Raamatussa on 66 kirjaa tai kirjettä=12=3
Kolmiyhteinen jumala: Isä, Poika, Pyhä Henki=3
Hyvät musiikkikappaleet kestää usein n. 3 minuuttia.
1/3 rajaukset on taiteessa kaunista.
Seitsemän päivää, seitsemän vuoden syklit..
Jne.
Mielenkiintoista
Niin ja en ole mikään hellarikiihkoilija tms, kunhan vain pohdin. Sitähän luonnontieteet on, eikö? Kaavaa etsin vain.
Vastauksia on jo tullut. Ovat vain niin lakonisia etten minä ainakaan vakuuttumut ennenkuin tartuin itse kynään. Tässä pohdiskeluni tulos. Ajattelin ensin noiden kongruenssien avulla mutta ne tuskin ovat aloittajalle tai monelle lukijoista tuttuja joten esitän asian ihan jaollisuusopin avulla, osamääriä ja jakojäännöksiä käyttäen.
Palstan rakkikoirat: nyt on taas tilaisuutenne räksyttää kuinka Ohman plagioi toisten ratkaisuja!
Olkoon A luku, jonka esitys kymmenjärjestelmässä numeroilla on a(n)a(n-1)...a(1)a(0) missä siis 0 <= a(i) <= 9. A > 0.
Tämä tarkoittaa, että A = a(n) * 10^n a(n-1) * 10^(n-1) ... a(1) * 10 a(0)
Otetaan nyt joku näistä summan termeistä, a(i) * 10^( i), missä i =/ 0
a(i) * 10 ^i - a(i) = a(i) (10^i - 1) = 99...9 a(i) joten tämä luku on tasan jaollinen luvulla 9 . Lisäksi a(0) - a(0) = 0 on tasan jaollinen luvulla 9.
Jos nyt muodostetaan luku A - (a(n) ...a(1) a(0)) se on edellä kuvaamieni termien summa ja on siis jaollinen luvulla 9. Eli jos A:sta vähenetään numeroittensa summa tulos on jaollinen luvulla 9.
Numeroitten summa on sama otettiinpa numerot missä järjestyksessä tahansa. A:n numerot voi siis panna mihin tahansa toiseen järjestykseen ja edelleen saatu luku B - (a(n) ... a(0) on jaollinen luvulla 9.
Väliin tai perään voi myös panna mielivaltaisen määrän nollia eikä tämä muuta tuota jaollisuutta sillä numeroiden summa pysyy samana. Otan esimerkin. 1234 - 10 =1224 = 136 * 9. 1002034 - 10 = 1002024 = 111336* 9.
Luvut voi myös ryhmitellä mielivaltaisesti . Otetaan numerot ai),a(j) ja a(k).
A1 = a(n) * 10^n ...a(i-) * 10^ i ...a(j-) * 10^j ..- a(k-)* 10^k ... a(0) ja A2 = a(i)* 10^i a(j) * 10^j a(k) * 10^k mssä nuo -merki luvun A1 indekseissä i, j ja k tarkoittavat että nuo numerot puuttuvat. Nyt edellä todistetun mukaan A1 - (a(n) .. a(i-) ...a(j-) ...a(k-) ...a(0)) on jaollinen luvulla 9 ja A2 - (a(i) a(j) a(k))on jaollinen luvulla 9 joten niiden summa A - (a(n) ... a(0) on jaollinen luvulla 9 kuten pitääkin.
Luvun A numeroiden ja mahdollisten lisänollien avulla päädytään siis aina lukuun a(n) ... a(0) olivatpa A:n numerot missä järjestyksessä tahansa tai vaikka niitä tuossa yhteenlaskussa ryhmiteltäisiin.
Otetaan nyt luku A ja muodostetaan sen numeroiden summa, olkoon tämä A(1). Muodostetaan tämän numeroiden summa, olkoon se A(2). Jatketaan, kunnes päädytään yksinumeroiseen lukuun A(m) < 9.A(m) on jakojäännös joka jää kun A jaetaan luvulla 9, A = K * 9 A(m).
Kun A:ssa on tietyt nollasta eroavat numerot päädytään aina tähän samaan lukuun A(m).
A- A(m) = (A-A(1)) (A(1) - A(2)) ... (A(m - 1) - A(m)) . Jokainen näistä summan termeistä on luku vähennettynä numeroittensa summalla ja siis jaollinen luvulla 9. Koko summa on siis jaollinen luvulla 9 eli A - A(m) on jaollinen 9:llä. Siis A-A(m) = K*9 ja A = K*9 A(m). A(m) on sis jakojäännös joka saadaan kun A jaetaan luvulla 9 ja sama jakojäännös saadaan jos A:n asemesta käytetään toista sen numeroista muodostettua lukua. A(m) voi olla joku luvuista 0 (jako menee tasan), 1,2,...,8.
Kaikki luvut, joiden jakojäännös 9:llä jaettaessa on i kuuluvat jäännösluokkaan modulo 9 ja näitä jäännösluokkia on siis 9. Jokainen ei-negatiivinen kokonaisluku kuuluu johonkin niistä.
Tuolla Kolmelukua-nimimerkin laskutoimituksella päädytään siis aina johonkin näistä jakojäännöksistä ja jos eri luvuilla on samat numerot missä järjestyksessä tahansa ja ylimääräisiä nolliakin voi olla kuuluvat luvut samaan jäännösluokkaan.
Näinpä pitkä siitä tuli kun rautalangasta väänsin. Kongruenssien käyttö olisi vähän helpottanut mutta kuten sanoin en olettanut niitä ja niiden laskusääntöjä tunnetuiksi enkä nyt tässä halunnut niitä ruveta selittämään vaikka eivät monimutkaisia olekaan.
Ohman
Lisään vielä kommentin. Kolmeluvulla oli tällainenkin konsti.
Käytän nyt niitä kongruensseja.a=b (9) tarkoittaa siis, että 9 l (a-b) (9 jakaa luvun a-b)
Otetaan vaikka luku 12345. Sen numeroiden summa on 15 ja 12345 =15 (9).
Lasketaan sitten näin 1 23 45 = 60 ja 60 = 15 (9)
1 23 9 = 33 ja 33 = 15 (9).
Kaikki nämä laskut johtavat ensin lukuun 15 ja siitä edelleen lukuun 6, 15 = 6 (9) joten päästään aina jäännösluokkaan 6
Luvut voi myös yhdistellä näin 13 24 5 = 42 ja 42 = 15 (9).
Miten tämä on mahdollista?
Olkoon A kuten aiemmin , B(k)= a(n) 10^n ... a(k) 10^k ja C(k) = a(k-1) 10^(k-1) ... a(0). A = B(k) C(k)
Nyt
C(k) = a(k-1) a(k-2) ... a(0) (9)
a(n) ... a(k) = a(n) ... a(k) (9)
joten
a(n) ... a(k) C(k) = a(n) ... a(0) (9) . Aiemmin merkitsin tuota kaikkien numeroiden summaa symbolilla "A(1)" joten siis a(n) ... a(k) C(k) = A1 (9).
Samoin myös B(k) a(k-1) ... a(0) = A(1) (9)
Luvuksi k voidaan valita n >= k >= 1 .
Ihan yleisesti luvun A desimaaliesitys voidaan jakaa osiin
B =a(n)a(n-1)...a(k) * 10^k ,C = a(k-1)a(k -2)2)...a(0)
B= a(n) ... a(k) (9) , C = a(k-1) ... a(0) (9)
joten A = B C ja A = A(1 ) (9). Tuota jakoa voidaan jatkaa jakamalla B tai C vastaavalla tavalla mutta aina päädytään siihen, että A= B C ... P ja tämä on kongruentti A(1):n kanssa modulo 9.
Päädytään siis aina tuohon lukuun A(1) = a(n) ... a(0) ja kun siitä jatketaan tätä prosessia päädytään aina samaan jäännösluokkaan 0 <= i < 9.
Luvun A numerot voi myös permutoida mihin tahansa järjestykseen ja saatu luku on aina kongruetti luvun A(1) kanssa. Eli jos tuossa esimerkissä laskettiin numeroiden summa näin: 13 24 5 tämä saadaan luvun 12345 permutaatiosta 13245 ja edellä annettu todistus pätee siihen. 42 = 15 (9).
Ohman
sanoisin, jotta vakuuttava vastaus
Onko kukaan hoksannut, että vuodessa on 365 päivää, mikä laskennossa usein pyöristetään lukuun 360? Tämä 360 on sama kuin ympyrän sisältämä asteluku, mikä taasen usein ilmaistaan radiaaneina 2 * pii.