Ryhmä yhtälöitä

Yleensä vielä yhtälöt tai yhtälöryhmät, joissa on muuttujien polynomeja ja samojen muuttujien trigonometrisia funktioita, ovat ns. transsendenttisia funktioita, joiden ratkaisu onnistuu vain numeerisilla menetelmillä.

2. yhtälö: 1 tan^2(y) = 1 sin^2(y) / cos^2(y) = (cos^2(y) sin^(y)) /cos^2(y) =

1/cos^2(y) ja tämän pitää nyt olla = 1/cos^2(x). Siis x = y /- 2n * pii ja noilla antamillasi rajoituksilla x = y

Kolmas yhtälö on taas identiteetti. Jos sijoitetaan tuo edellinen ratkaisu x=y siihen saadaan

tan(x) tan(x) tan( pii - 2x) = tan(x) tan(x) tan(pii - 2x)

tan (pii - 2x) = - tan(2x) ja siis edellisestä rivistä saadaan

-tan^2(x) tan(2x) = 2 tan(x) - tan(2x)

tan(2x) = 2 tan(x) / (1 - tan^2(x)) ja tästä ja edellisestä rivistä saadaan

-tan^2(x) (2 tan(x) / ( 1-tan^2(x) ) = 2 tan(x) - 2 tan(x) / (1 - tan^2(x)) ja edelleen
-2 tan^3(x)/(1- tan^2(x)) = -2 tan^3(x) / (1- tan^2(x) joka on taas identiteetti.

4. yhtälö: nyt siis x = y joten yhtälö on x^4 - 2 x^2 = 0 joten x = 0 tai x^2 - 2 = 0 ja siis x = /- 2.

Mitähän tällä tehtävällä oiken "ajettiin takaa"?Olivatko nuo identiteetit jotain avuksi annettuja kaavoja vai pitikö ne todistaa? No, tässä tuli todistukset.

Ohman

Lisään nyt vielä kommentin ennenkuin joku tarkkanäköinen ennättää. 2.yhtälössä voi olla cos^2(x) = cos^2(y) myös silloin, kun y = x pii, sillä cos(y) = -cos(x) ja siten noiden neliöt ovat samat. Mutta tämä ratkaisu ei ole mahdollinen tehtävän muuttujille x ja y antamissa rajoissa.

Ohman

Jäihän se neliöjuuren merkkikin pois. P.O. x = /- sqrt(2).

Ohman

Tein näköjään turhan paljon töitä tuon 3. yhtälön kanssa. Kun olin saanut sen muotoon

tan(2x) = 2 tan(x) / (1 - tan^2(x))

niin asiahan on jo selvä, tämä on tangentin yhteenlaskukaavan mukainen tulos eikä siinä enempää tarvita sen toteamiseksi, että 3. yhtälö on identiteetti.

4. yhtälöstä saaduista ratkaisuista 0, sqrt(2) ja - sqrt(2) tuo - sqrt(2) ei ole mahdollinen tehtävässä muuttujille x ja y annetuissa rajoissa.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Lisään nyt vielä kommentin ennenkuin joku tarkkanäköinen ennättää. 2.yhtälössä voi olla cos^2(x) = cos^2(y) myös silloin, kun y = x pii, sillä cos(y) = -cos(x) ja siten noiden neliöt ovat samat. Mutta tämä ratkaisu ei ole mahdollinen tehtävän muuttujille x ja y antamissa rajoissa.

Ohman

Eipä ole tarkkanäköiset lukeneet. Yöpää on näköjään parempi kuin päiväpää.

Onhan tuolla yhtälöllä cos^2(x) = cos^2(y) ratkaisuja enemmänkin:

(1) cos(x) = cos(y) ja (2) cos(x) = - cos(y)

1. yhtälön toteuttavat y = x ja y = -x. Näistä vain y = x kelpaa tehtävän ehdoilla.Ne y = x /- n 2 pii eivät kelpaa muulloin kun n:n ollessa 0.

2. yhtälön toteuttavat


y = x pii ei käy ( pii < y < 3 pii /2, y ei 1. neljänneksessä , y > pii)
y = x - pii ei käy ( y < 0 jos x 1. neljänneksessä)

y = -x pii ei käy (pii/2 < y < pii, y ei 1. neljänneksessä)

y = -x - pii ei käy (y < 0)

Arvot y /- n 2 pii eivät kelpaa jos n =/ 0.

Joten tosiaankin x = y on ainut tehtävän ehtoihin sopiva ratkaisu.

Eri setvimistä!

Ohman

Ohman kirjoitti:

Tein näköjään turhan paljon töitä tuon 3. yhtälön kanssa. Kun olin saanut sen muotoon

tan(2x) = 2 tan(x) / (1 - tan^2(x))

niin asiahan on jo selvä, tämä on tangentin yhteenlaskukaavan mukainen tulos eikä siinä enempää tarvita sen toteamiseksi, että 3. yhtälö on identiteetti.

4. yhtälöstä saaduista ratkaisuista 0, sqrt(2) ja - sqrt(2) tuo - sqrt(2) ei ole mahdollinen tehtävässä muuttujille x ja y annetuissa rajoissa.

Ohman

Eikä myöskään 0, piti olla x > 0. Ainut ratkaisu on x = y = sqrt(2).


Ohman

Jee, kkiitos ratkaisusta! :)