Mitä funktiota lähestyy (vaikkapa nyt L^2 mielessä tai jotenkin) funktiojono, joka määritellään näin
f_0 = x^2 - 1
f_{n 1} = f( f_n(x) ) = (f_n(x))^2 - 1, kun n>=0
Piirtäkää vaikka noita funktioita. Helppo kirjoittaa lauseke kun kopioi tekstin (x^2 - 1) ja sijoittaa sen lausekkeeseen (x^2 -1) eli siihen edelliseen lausekkeeseen x:n paikalle. Siinä on aina vain yksi x, joten tämä on helppoa korvata. Tässä vähän alkua
f_1 = ((x^2 - 1)^2 - 1)
f_2 = (((x^2 - 1)^2 - 1)^2 - 1)
f_3 = ((((x^2 - 1)^2 - 1)^2 - 1)^2 - 1)
Vielä nopeammin saa tuotettua suuremman n:n arvon funktion kun kopioi pitemmän pätkän. Sijoittaa esim koko f_3:n lausekkeen siihen itseensä x:n paikalle, niin tulee f_6.
Tulee aika jännän näköisiä. Kyllä se näyttäisi jotain funktiota päin konvergoivan. Jotenkin tähän täytyy liittyä kultainen luku fii ja sen konjugaatti. Siis tuo raja funtio olisi vain välillä (-fii, fii) määritelty. Sen ulkopuolellahan nuo funktiot f_n taitavat ampaista äärettömyyteen(?)
Ai niin, vähentäkää f_n:stä vielä x, niin tulee vielä jännemmän näköinen.
f_0 = x^2 - 1
f_{n 1} = f( f_n(x) ) = (f_n(x))^2 - 1, kun n>=0
Piirtäkää vaikka noita funktioita. Helppo kirjoittaa lauseke kun kopioi tekstin (x^2 - 1) ja sijoittaa sen lausekkeeseen (x^2 -1) eli siihen edelliseen lausekkeeseen x:n paikalle. Siinä on aina vain yksi x, joten tämä on helppoa korvata. Tässä vähän alkua
f_1 = ((x^2 - 1)^2 - 1)
f_2 = (((x^2 - 1)^2 - 1)^2 - 1)
f_3 = ((((x^2 - 1)^2 - 1)^2 - 1)^2 - 1)
Vielä nopeammin saa tuotettua suuremman n:n arvon funktion kun kopioi pitemmän pätkän. Sijoittaa esim koko f_3:n lausekkeen siihen itseensä x:n paikalle, niin tulee f_6.
Tulee aika jännän näköisiä. Kyllä se näyttäisi jotain funktiota päin konvergoivan. Jotenkin tähän täytyy liittyä kultainen luku fii ja sen konjugaatti. Siis tuo raja funtio olisi vain välillä (-fii, fii) määritelty. Sen ulkopuolellahan nuo funktiot f_n taitavat ampaista äärettömyyteen(?)
Ai niin, vähentäkää f_n:stä vielä x, niin tulee vielä jännemmän näköinen.
Vastaukset 1
Vanhimmat
Tässä kuva, jossa piirretty noita iteraatteja (alaspäin lähtevät viivat on jotain piirrosvirheitä kai):
http://i11.aijaa.com/b/00018/14032687.jpg
Tässä kaksi iteraattia suurilla n:
http://i3.aijaa.com/b/00515/14032689.jpg
Nehän vaihtelevat n:n parillisuudesta riippuen, mutta tutkitaan vaikka erikseen osajonoja (f_{2k}) ja (f_{2k 1}).