Esimerkki: Ratkaise yhtälö x^3 - 3x^2 - 2x 6 = 0
Ratkaisu:
x^3 - 3x^2 -2x 6 = 0
x^2 (x-3) - 2 (x-3) = 0
(x - 3) (x^2 - 2) = 0
x = 3 tai x = ±√2
---
Noita kahta viimestä riviä mä varsinkaan en enää ymmärrä, miten nuo x:n arvot tuosta mukamas saa? Pliis jos joku täällä osais auttaa :)
Ratkaisu:
x^3 - 3x^2 -2x 6 = 0
x^2 (x-3) - 2 (x-3) = 0
(x - 3) (x^2 - 2) = 0
x = 3 tai x = ±√2
---
Noita kahta viimestä riviä mä varsinkaan en enää ymmärrä, miten nuo x:n arvot tuosta mukamas saa? Pliis jos joku täällä osais auttaa :)
Vastaukset 11
Vanhimmat
Niin siis tietystikään kun en tajua tuota ratkaisua niin ei oo mun itse tekemäkään, :D opiskelin vaan tuota asiaa ja löysin tuon jostakin, mutta en kuitenkaan saa selkoa :/
x^3 - 3x^2 -2x 6 = 0
x^2 (x-3) - 2 (x-3) = 0 Tässä termejä on ryhmitelty uudestaan. Kun termejä on neljä, niin usein kannattaa kokeilla josko ne voi jakaa tuolla tavalla. Selvästi x^3-3x^2=x^2(x-3) ja -2x 6=-2(x-3)
(x - 3) (x^2 - 2) = 0 Tässä on otettu (x-3) yhteiseksi tekijäksi. Jos merkataan x-3=a on tämä vaihe helppo ymmärtää. x^2 (x-3) - 2 (x-3)=x^2*a-2a eli a(x^2-2) ja koska
a = x-3 saadaan a(x^2-2)=(x-3)(x^2-2)
Lopuksi on käytetty tulon nollasääntöä. Tulo on nolla, jos ja vain jos yksikin sen tekijöistä on nolla. Siis (x - 3) (x^2 - 2)=0 jos x-3=0 tai x^2-2=0 eli x = 3 tai x = ±√2.
Kolmannen asteen yhtälön ratkaisussa tällainen kikka on lukiomatematiikassa yleinen.
Okei, siis jaat 1,2 ja 3,4 osa yhteisiin tekijöihin. Huomaat, että molempia "pareja" yhdistää tuo (x-3). Nyt sait toisiksi viimeisen rivin, kun ab ac = a(b c).
Entä miten x:n arvot saa?
Huomaat, että (x-3)(x^2-2) = 0.
Jos tulo ab = 0, niin a ja/tai b on oltava arvoltaan 0.
Siis x-3 = 0 => x=3
Tai x^2 -2 = 0 => x^2=2 => x= /- sqrt2
Mistä on tullut kouluihin tämä 3. asteen yhtälövillitys? Saahan niistä kieroja tehtäviä, mutta matematiikassa olisi tärkeämpiäkin asioita. Jos täyttyy ratkaista 3. asteen yhtälö, niin se tehdään numeerisesti. Hyvin harvoin ne ratkeavat arvailemalla.
Olen minä moneenkin teknisen ohjelmiston koodiin sijoittanut kolmannen asteen yhtälön analyyttiset ratkaisukaavat, eli jotkut tarvitsevat ratkaisuja aivan oikeasti. Lisäksi kannattaa useinkin vielä miettiä, miten ratkaisukaavojen koodaus tulee tehdä millekin polynomin kerroinyhdistelmälle, kun merkitseviä numeroita on kuitenkin rajallinen määrä.
Numeerisissa menetelmissä on aina omat vaaransa suppenemisen suhteen, etenkin lähekkäisten tai moninkertaisten juurten tapauksissa.
Tietenkin harva tarvitsee kolmannen asteen yhtälöitä suoraan lukion jälkeen, vaan suurin osa tarvitsijoista saa lisää matematiikan ja muuta osaamista lukion matematiikan tueksi.
Kävin lukion ja matematiikka meni kyllä ihan täysin yli hilseen. Miksi ei riitä osata yhteen, miinus, jako ja sitte prosentti laskun osaaminen? Olen 51 vuotias ja ei minun ole koskaan tarvinnut katsoa mistään mikä asia on jonkun neliöjuuri tai miten joku asia derivoidaan! Se on eri asia jos joku haluaa jatkaa matemaattisella ym. linjoilla jossa tosiaankin tarvii osata monimutkaisempia laskutaitoja. Mutta lukiossakin olisi voitu keskittyä enemmän vaikka...kieliin, yleis-sivistykseen jota juuri nyt todellakin tarvittaisiin ja tarkotan maahanmuuttajia, että ymmärrettäis heidänkin kulttuuria. Ja siis keskittyä enemmän yleistietoon asioista eikä nippelitietoon jostain matematiikasta. Tiedän että matematiikka on tärkeää muttei kaikille. Se kaikki mikä matemaattinen taito opitaan niin se on ala-aste ja yläaste. Sen jälkeen se voisi olla valinnainen aine heille jotka haluaa ja osaa ja on kiinnostuneita siitä. Ja tää on vaan mun m ielipide. Saa olla eri kieltä. YOU MAY BEG TO DIFFER!!!
Hyvä mielipide.
Olisi äärimmäisen tärkeää, että jokainen osaisi matematiikkaa sen verran, että paitsi osaisi suhteuttaa lukuja (mm. riittävätkö tulot tietynsuuruisen velan hoitoon), lukea diagrammeja sekä mittakaavaan piirrettyjä piirustuksia ja karttoja, hallitsisi prosentti- ja korkolaskut, osaisi esimerkiksi myös laskea, paljoko tapettia tai maalia tarvitaan huoneen pintaremonttiin jopa tapauksessa, jossa yksi seinä on puolisuunnikas.
Kävin lukion jossa opiskeltiin kovin ruotsia jota en ole koskaan tarvinnut. Samoin muutan muun oppiaineen kanssa. Sen sijaan matematiikkaa olen tarvinnut koska jatko-opiskelin teknillisellä alalla. Lukiossahan on mahdollisuus valita varsin kevyt lyhyt matematiikka joka ontarpeen esim. kaupallisella alalla jatkettaessa opintoja. Lukion pitkä matematiikka on tarkoituksenmukainen luokittelemaan porukkaa jatko-opintoja ajatellen. Tekniset alat ovat tärkeitä kansantalouden kannalta, humanismi ei tuo vientituloja.
Hyvä mielipide.
Matematiikkaa paljonkin opiskelleita maistereita, dipl.inssejä, tohtoreita on sellaisissa tehtävissä, mm. johtajina, etteivät tarvitse kuin peruslaskutoimituksia osatakseen palkkansa laskimella räknätä. Opintojaan he ovat tarvinneet asemiinsa päästäkseen.