Viime aikoina olen tutkinut internetistä kaikenlaisiayhteyksiä matemaattiten vakioiden, lähinnä piin ja neperin luvun välillä.
Mihin perustuu se, että kahdella täysin eri matematiikan aloihin liittyvällä vakiolla on yhteys? Onko kukaan koskaan tutkinut näitä tai pystynyt osoittamaan, mistä tällaiset yhteydet johtuvat. Myöskin matemaattiset vakiot voidaan esittää sarjakehitelmien avulla, jotka ovat (päättymättömiä) yhteenlaskuja. Raja-arvon avulla tutkittaessa kuitenkin saadaan esim. Neperin luku vaikkapa seuraavasti:
e=1 1/1 (1/1*2) (1/1*2*3) (1/1*2*3*4)...
Esimerkiksi tämä sarjakehitelmä esittää transsendeettisen ja irrationaalisen vakion luonnollisten lukujen avulla. Myöskin piille tunnetaan useita vastaavanlaisia kehitelmiä. Mihin siis tällaiset sarjakehitelmät oikein perustuvat ja miten niihin on päädytty?
Toinen mielenkiintoinen tapa esittää Neperin luku on integroida funktiota 1/x väliltä 1, e, jolloin tulos on 1. Tämä on toisaalta ihan ymmärrettävää ottaen huomioon, että 1/x on funktion e^x derivaattafunktio.
Myös Stirlingin kaava luo yhteyden näiden kahden vakion välille, vaikkakin likimääräisesti mutta taas voidaan käyttää raja-arvoa jolloin tulos on täsmällinen.
Ehkä kaikkein mielenkiintoisin yhteys piin ja Neperin luvun välillä on niin sanottu Eulerin identiteetti, joka menee näin:
(e^(i*pii)) 1=0
Mitenkäs tämä on selitettävissä?
Jokatapauksessa, on se matematiikka ihmeellistä ainakin näin asiaan perehtymättömän mielestä.
Mihin perustuu se, että kahdella täysin eri matematiikan aloihin liittyvällä vakiolla on yhteys? Onko kukaan koskaan tutkinut näitä tai pystynyt osoittamaan, mistä tällaiset yhteydet johtuvat. Myöskin matemaattiset vakiot voidaan esittää sarjakehitelmien avulla, jotka ovat (päättymättömiä) yhteenlaskuja. Raja-arvon avulla tutkittaessa kuitenkin saadaan esim. Neperin luku vaikkapa seuraavasti:
e=1 1/1 (1/1*2) (1/1*2*3) (1/1*2*3*4)...
Esimerkiksi tämä sarjakehitelmä esittää transsendeettisen ja irrationaalisen vakion luonnollisten lukujen avulla. Myöskin piille tunnetaan useita vastaavanlaisia kehitelmiä. Mihin siis tällaiset sarjakehitelmät oikein perustuvat ja miten niihin on päädytty?
Toinen mielenkiintoinen tapa esittää Neperin luku on integroida funktiota 1/x väliltä 1, e, jolloin tulos on 1. Tämä on toisaalta ihan ymmärrettävää ottaen huomioon, että 1/x on funktion e^x derivaattafunktio.
Myös Stirlingin kaava luo yhteyden näiden kahden vakion välille, vaikkakin likimääräisesti mutta taas voidaan käyttää raja-arvoa jolloin tulos on täsmällinen.
Ehkä kaikkein mielenkiintoisin yhteys piin ja Neperin luvun välillä on niin sanottu Eulerin identiteetti, joka menee näin:
(e^(i*pii)) 1=0
Mitenkäs tämä on selitettävissä?
Jokatapauksessa, on se matematiikka ihmeellistä ainakin näin asiaan perehtymättömän mielestä.
Vastaukset 4
Vanhimmat
"Tämä on toisaalta ihan ymmärrettävää ottaen huomioon, että 1/x on funktion e^x derivaattafunktio".
Ei kai.
taisi aloittaja tarkoittaa luonnollista logaritmia
Ei kai tässä ole mitään ihmeellistä. Moni funktio voidaan esittää Taylorin sarjana, joka on potenssisarja, ja e^x on yksi näistä. Samalla tavalla voidaan esittää esim. trigonometriset funktiot, neliöjuuret ja logaritmit, tai voit itse keksiä oman funktiosi, jonka kehität potenssisarjaksi.
Eulerin identiteetti saadaan aikaiseksi, jos kehitetään kompleksinen eksponentti Taylor-sarjaksi, eli e^iz. Tällöin voidaan sarjan termit nähdä sinin ja kosinin Taylor-sarjoina, ja saadaan e^iz = cosz isinz, johon sijoittamalla z = pi, saadaan e^i*pi = -1.
Vaikka usein puhutaan vain Taylorin sarjasta, niin tässä pitäisi puhua Maclaurinin sarjasta, kun origossa kehitetään sarja.
https://fi.m.wikipedia.org/wiki/Eulerin_lause_(funktioteoria)
Kuten m36-intj totesi, sarjakehitelmissä ei ole mitään ihmeellistä. Analyysin oppikirjoista löytyy näistä tietoa. Jatkuvasti derivoituvaa funktio voidaan aina esittää Taylorin sarjana. Jaksollinen funktio puolestaan voidaan esittää trigonometristen funktioiden sarjakehitelmänä (Fourier), näillä on suuri merkitys fysiikassa aaltofunktioiden käsittelyssä.
Eulerin identiteetti on suora seuraus Eulerin lauseesta, jonka johtaminen löytyy Wikipediastakin.
Eikö matematiikka olekin kaunista!