Olkoon p(x) mielivaltainen vähintään toista astetta oleva reaaliluku- tai kompleksilukukertoiminen polynomi. Muodostetaan uusi polynomi q(x) asettamalla q(x)=p(p(x) x). Voiko polynomi q(x) olla jaoton? Jos voi, niin anna esimerkki. Jos ei voi, niin todista tämä.
Polynomiprobleema
Problemaatikko
21144
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 21
Vanhimmat
Jaoton missä/kummassa renkaassa? Ilmeisesti, jos reaalikertoiminen, niin kysytään jaottomuutta R[X]:ssä ja toisessa tapauksessa C[X]:ssä.
Kompleksitapaus on helppo: Jokainen polynomi hajoaa ensimmäisen asteen termeihin, joten q, joka on vähintään astetta 4, ei voi olla jaoton.
Itse asiassa reaalitapaus on yhtä helppo, sillä jokainen polynomi hajoaa reaalikertoimisten polynomien renkaassa astetta 1:n ja/tai 2:n olevien polynomien tuloksi. Tämän näkee siten, että kuntalaajennus R:stä C:hen on astetta kaksi (lisätään vain i, jonka minimipolynomi on x^2 1, niin R laajentuu C:ksi) ja jos olisi suurempi kuin astetta kaksi oleva jaoton polynomi P, niin saataisiinkin laajennus tämän polynomin hajotuskuntaan, jonka aste olisi suurempi kuin kaksi, mutta tämä ei käy, sillä polynomi hajoaa C:ssä, sillä juuret a ja b, joten C:n alikunta R(a,b) olisi eräs P:n hajotuskunta. Koska koko laajennus R-->C on astetta kaksi, täytyy laajennuksen R -->R(a,b) asteen (eli deg(P):n ) jakaa 2, eli deg(P) = 1 tai 2.
"Itse asiassa reaalitapaus on yhtä helppo, sillä jokainen polynomi hajoaa reaalikertoimisten polynomien renkaassa astetta 1:n ja/tai 2:n olevien polynomien tuloksi."
Noinkohan?
Millainen on esimerkiksi polynomin
g(x)=x^3 x 1
jako reaalilukukertoimisten polynomien renkaassa korkeintaan astetta kaksi oleviin tekijöihin?
Tarkoitatko hajotuskunnalla juurikuntaa?
"Millainen on esimerkiksi polynomin
g(x)=x^3 x 1
jako reaalilukukertoimisten polynomien renkaassa korkeintaan astetta kaksi oleviin tekijöihin?"
Merkitään a=((93^(1/2)/144 1/16)^(1/3)*(12*93^(1/2)-108)^(2/3))/6-2*(93^(1/2)/144 1/16)^(1/3) (mikä on polynomin reaalinollakohta). Tällöin
x^3 x 1=(x-a)(x^2 ax (1 a^2)).
Joo, hajoituskunnalla tarkoitin juurikuntaa (splitting field), kun joku sitä kysyi.
Helpompi tapa nähdä, että jokainen reaalikertoiminen polynomi hajoaa korkeintaan kaksi olevien reaalikertoimisten polynomien tuloksi:
Olkoon p reaalikertoiminen polynomi. Se hajoaa C[X]:ssä kokonaan eli on kompleksiset juuret a_i s.e
p(x) = r(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_n)
Koska p on reaalikertoiminen tulevat ei-reaaliset juuret kompleksikonjugaattipareissa. Kun tällainen pari kerrotaan, saadaan reaalikertoiminen toisen asteen polynomi. Nyt vain kerrotaan tuossa p:n esityksessä kaikki "kompleksikonjugaattijuuri-termit" (x-c) ja (x-c^{viiva}) keskenään (tässähän saattaa olla joku c monta kertaa, jos se on korkeampiasteinen juuri, mutta tällöin c^{viiva} on yhtäkorkea asteinen, joten jokaiselle löytyy pari). "Reaalijuuri-termit" jätetään sellaisekseen.
Tuo, että jos c € C\R on p:n juuri, niin c:n konjugaatti on saman asteinen p:n juuri, näkee sillä, että konjugaatti menee summaan ja tuloihin, joten p(c) = 0 ==> p(c^{viiva}) = 0, ja jos c on useampi asteinen, tehdään tämä myös derivaatalle p'(c)=0 ==> p'(c^{viiva}) = 0 (jne. korkeammillekin asteille/derivaatoille).
Koska konjugointi "menee summaan ja tuloon" eli konjugaattien summa on summan konjugaatti ja konjugaattien tulo on tulon konjugaatti, niin p(z^{viiva}) = p(z)^{viiva}.
Kiitokset 'nokikanalle' melkoisen tyhjentävistä vastauksista.
Vielä kysyisin, miten käy, kun tarkastelu suoritetaan kokonaislukukertoimisten polynomien renkaassa?
Z[x]:ssä q voi olla jaoton. Esim. p(x) = x^2 x - 1, jolloin q(x) = (x^2-1)^2 (x^2-1) - 1 = x^4 - x^2 - 1.
Polynomilla q(x) on juuret
a_1, a_2 = /- sqrt( (1 sqrt(5))/2 )
ja
a_3, a_4 = /- i * sqrt( (sqrt(5)-1)/2 ).
Sillä ei voi olla ensimmäisen asteen tekijää Z[X]:ssä, sillä mikään juuri ei ole kokonaisluku. Se voi siis ainoastaan olla mahdollisesti kahden toisen asteen tulo. Mutta tällöin tällaisen toisen asteen tekijällä, pitäisi olla juurina kaksi noista q:n juurista ja eritoteen sen vakiotermi olisi näiden juurten tulo. Mutta mistään kahdesta juuresta ei tule tuloksi kokonaislukua (ei-reaalista ja reaalista on turha edes koittaa, se on ei reaalinen tulo, a_1*a_2 = (1 sqrt(5))/2, joka ei ole kokonaisluku ja a_3*a_4 = -(sqrt(5)-1)/2, joka ei sekään ole kokonaisluku).
-------
Jaollinenkin se saattaa tietysti olla, esim. p(x) = x^2, q(x) = (x^2-x)^2 = x^2(x-1)^2.
--------
Mutta tosiaan kokonaislukukertoimisille tämä ongelma, niinkuin jaottomuustarkastelu yleensäkin, on vähän mielenkiintoisempi.
"ei-reaalista ja reaalista on turha edes koittaa, se on ei reaalinen tulo"
Siis reaalisen (nollasta eroavan, kuten tässä tapauksessa on) ja ei-reaalisen luvun tulo, on ei-reaalinen (eikä näin kokonaisluku).
Vielä korjaus (miinusmerkit meni väärin päin):
a_1*a_2 = -(1 sqrt(5))/2 ja a_3*a_4 = (sqrt(5)-1)/2
Kyllä nimimerkki nokikana234 taitaa nyt olla väärässä. Polynomi q(x) ei voi olla jaoton.
Jos nimittäin merkitään
p(x) =summa_{k=0}^n a_k*x^k,
niin
q(x)
=p(p(x) x)
= \sum_{k=0}^n a_k*(p(x) x)^k
\equiv \sum_{k=0}^n a_k*x^k (mod p(x))
= p(x)
\equiv 0 (mod p(x)).
Siis p(x)|q(x) ja polynomin p(x) aste on pienempi kuin polynomin q(x) aste, joten p(x) on q(x):n tekijä ja q(x) ei voi olla jaoton.
Joo, katoin alunperin väärin, että q(x) = p(p(x) - x) eli miinusmerkillä tuo x vaikka pitäsi olla plusmerkki. Pitäs lukee tarkemmin :-/
Tuohan onkin kätevä yleinen ratkaisu tuo mod p(x) tarkastelu!
Rinta rottinkille ja
Uusia seiniä päin! ;)
(matemaattisen dialogin/diskurssin pääperiaate)
(Ts. on ihanaa olla joskus väärässä, koska silloin voi oppia jotain uutta. Jotain noista nokikanan edellisistä kommenteista taas opinkin)
q(x) = p(p(x) x) = a(n) (p(x) x)^n ... a(1) (p(x) x) a(0) = a(n) p(x)^n muita termejä joissa on mukana jokin p(x):n nollaa suurempi potenssi a(n) x^n ...a(0) = a(n) x^n nuo muut p(x):n sisältävät termit p(x) joten q(x) on jaollinen p(x):llä.
Tähän ei nyt varsinaisesti tarvita moduleita ja ekvivalensseja! (Vaikka saman asianhan ne sanovat vähän turhaan hienostellen.)
Ohman
Joo, mutta se helpottaa kummasti merkintöjä ja ajatuksenkulkua, kun siirtyy "modulo-ajatteluun". Ei tarvitse kantaa mukana sitä "joku modulon monikerta". Tätä vartenhan tekijärenkaat on keksitty.
Jos tuo kirjoittamani q(x):n kaava ei mielestäsi ole yksinkertaisempi kuin höpöstellä moduleista ja ekvivalensseista niin ihmettelenpä. Olen vain yksinkeraisesti laskenut minkä näköinen q(x) on ja todennut, että se on sellaisten termien summa joista jokainen sisältää jonkin p(x):n nollaa suuremman potenssin ja on siis jaollinen p(x):llä. Tehtävä on täysin triviaali. Ratkeaa ilman mitään korkeampaa algebraa.
Jätettäköön modulit ja ekvivalenssit tehtäviin joissa niillä todella on käyttöä. Siis minun mielestäni näin.
Olette Sinisalon kanssa tehneet kärpäsestä härkäsen. Siis minun mielestäni, korostettakoon tätä.
Ohman
Modulit ja modulot eivät ole sama asia! Modulit ovat jäännösluokkarenkaita, modulit vektoriavaruuksien yleistyksiä.
Vai että modulit ja modulit!
Kun algebrassa puhutaan kongruenssista niin a = b (n), luetaan "a on kongruentti b:n kanssa modulo n", jos erotus a - b kuuluu moduliin (n), ts. jos n l a - b.
Tämä on ainakin esim. F. Nevanlinnan kirjassaan "Johdatus lukuteoriaan ja algebraan" käyttämää terminologiaa.
Miksi kommentoit kun et näy tuntevan tarpeeksi algebraa?
Lineaarialgebrassa on myös toki käsite "moduli".Sillä on siellä taas oma merkityksensä.Tiedän ihan tarkkaan mikä tämä merkitys on.
Ohman
Jaa. En ole Nevanlinnan kirjaa lukenut, joten notaatio a-b\in (n) on minulle uusi, samoin tuo, että kongruentteja lukuja merkitään yhtäsuuruudella eikä ekvivalenssilla. Yleensä (n) viittaa jonkun renkaan ideaaliin. Osaan algebraa, mutta ilmeisesti olen käyttänyt toisia notaatioita ja termejä kuin Nevanlinna.
Kommutatiivisen renkaan R ideaalit ovat sen alimoduleita, kun R mielletään R-moduliksi (modulin skalaarilla kertominen on R:n kertolasku) R^1.
Kun näppäimistössäni ei ole sellaista kolmen vaakaviivan merkkiä niin kirjoitin "=".
Luulisinpa, että useimmat lukijat näkevät eron merkinnöissä " a = b" ja "a = b (n)".
Ohman