Olemme tottuneet siihen, että imaginääriyksikön i arvoksi on valittu polynomiyhtälön x^2 1=0 ratkaisu, jota ei löydy reaalilukujen joukosta. Mitäpä jos eksoplaneetalla 'ArtIqSciFixon' onkin päädytty (jostain mystisistä 'historiallisista syistä', valitettavasti) valitsemaan imaginääriyksiköksi polynomiyhtälön x^2 x 1=0 ratkaisu, jota sitäkään ei löydy reaalilukujen joukosta? Mikä olisi tällöin meid… öh … heidän mielestään polynomiyhtälön x^2 1=0 ratkaisu?
ET mathematics
EkstraTerrestrialAikjuu
8<50
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 8
Vanhimmat
Ensinnäkin kyseessä on imaginaariyksikkö eikä imaginääriyksikkö. Pelkästään määrittelemällä i^2=-1 ei voida sanoa paljoakaan kompleksilukujen rakenteesta. Pelkästään tämä määritelmä ei kerro, mitä tarkoittaa a bi, olipa a ja b reaali- tai kompleksilukuja. Vastaavasti jos määrittelet luvun i' siten, että i'^2 i' 1=0, ei tämä vielä riitä kertomaan, miten i':lla suoritetaan muita laskuja, kuten a bi' tai i'i tai i' i. Sinun pitäisi erikseen määritellä, mitä laskulakeja i' toteuttaa ja miten i' ja i kytkeytyy toisiinsa. Mutta jos struktuuri on määritelty toteuttamaan samat lait kuin imaginaariyksikkö, niin voithan ratkaista, että i'=-(-1)^(1/3) tai i'=(-1)^(2/3).
Tottakai oletuksena on, että reaalilukukunnan laskulait pätevät myös 'imaginaariyksiköllä' i, i^2 i 1=0, laajennetussa lukukunnassa.
Tässä kunnassa esim. kertolasku saadaan seuraavaan muotoon
(a b*i)*(c d*i)
=ac (ad bc)i bdi
=ac (ad bc)i bd(-i-1)
=(ac-bd) (ad bc-bd)i.
Mutta kysymys kuului, mikä olisi yhtälön x^2 1=0 ratkaisu tässä laajennetussa, uudella tavalla määritellyssä, kompleksilukujen kunnassa?
Eikö kunnat Q(i) ja Q((-1)^(2/3)) ole samat? Eihän se kunta siitä laajene vaikka siihen lisäisi siinä jo olemassaolevia kompleksilukuja?
Eivät ole: Q(i) = {a bi, a ja b rationaalilukuja}, mutta Q((-1)^(2/3)):ssa on esimerkiksi tuo (-1)^(2/3) = -1/2 i (sqrt(3))/2 ja (sqrt(3))/2 ei ole rationaaliluku, joten kyseinen alkio ei ole Q(i):ssä.
Esimerkiksi i ei taas ole kunnassa Q((-1)^(2/3)) = {a b(-1/2 i (sqrt(3))/2 ), a ja b rationaalilukuja}, sillä b:n pitäisi olla 2/sqrt(3) , jotta tuosta tulisi i, mutta se ei ole rationaaliluku.
Alkuun herää kysymys, onko näin määritelty i' yksikäsitteinen ja onko {R,i'}( ,*) kunta.
Missä mielessä sen pitäisi olla yksikäsitteinen? Eihän normaali imaginaariyksikkökään ole.
Tämäpä tehtävä ratkeaa varsin helposti, kun merkitään x=a bi, missä a ja b ovat reaalilukuja.
Nyt
x^2 1 = 0
<=> (a bi)^2 1 = 0
<=> a^2 2abi b^2i^2 1 = 0
<=> a^2 2abi b^2(-i-1) 1 = 0
<=> a^2-b^2 1 (2ab-b^2)i = 0
<=> (a^2-b^2 1) b(2a-b)i = 0.
Välttämättä
a^2-b^2 1 = 0 ja
b(2a-b) = 0.
Jälkimmäinen yhtälö toteutuu silloin ja vain silloin, kun b=0 tai 2a-b=0.
Jos b=0, niin ensimmäinen yhtälö tulee muotoon a^2 1=0. Tällä ei ole ratkaisua reaalilukujen kunnassa.
Siis oltava 2a-b=0 ts. b=2a. Sijoittamalla tämä ensimmäiseen yhtälöön saadaan 3a^2=1 ts.
a=(1/sqrt(3)) tai a=-(1/sqrt(3)). Koska b=2a, saadaan ratkaisut
x_1 =(1/sqrt(3))(1 2i) ja
x_2 = -(1/sqrt(3))(1 2i).
Mitäpä jos särkikalalla olisi jalat? Olisiko se hiiri? Entä jos tädillä..., no olkoon.
Ohman