Vastauksen kysymykseen kaikesta, siis siihen, että mitä on ja mitä ei ole, antaa tunnetusti polynomiyhtälö
p(q(x)) q(p(x))=c*p(x)*q(x),
missä p(x) ja q(x) ovat reaalimuuttujan reaalilukukertoimisia polynomeja ja c on reaalilukuarvoinen vakio.
Osaisiko kukaan sanoa, miten ratkaisuja p, q ja c tälle yhtälölle voitaisiin löytää?
p(q(x)) q(p(x))=c*p(x)*q(x),
missä p(x) ja q(x) ovat reaalimuuttujan reaalilukukertoimisia polynomeja ja c on reaalilukuarvoinen vakio.
Osaisiko kukaan sanoa, miten ratkaisuja p, q ja c tälle yhtälölle voitaisiin löytää?
Vastaukset 1
Vanhimmat
Yksi ratkaisu (perhe) on, että toinen on nollapolynomi, jolloin toinen saa olla mitä vain.
Jos molemmat eroavat nollasta, niin yhtälön puolien johtavia termejä vertailemalla huomataan seuraavaa: Jos p(x) = a_n*x^n ... ja q(x) = b_m*x^m, niin
p(q(x)) q(p(x)) = 2*a_n*b_m*x^(nm) ...
ja
c*p(x)*q(x) = c*a_n*b_m*x^(n m) ...
Joten, jotta nämä olisivat sama polynomi täytyy ainakin olla c=2 ja n m = nm, josta saadaan, että n=m=2.
Siis jos muita ratkaisuja (joissa kumpikaan ei nollapolynomi) löytyy, ovat nämä sellaisia missä molemmat ovat toisen asteen polynomeja ja c=2. Pitäisi tehdä yhtälöryhmä ja koittaa ratkaista...
a(dx^2 fx g)^2 b(dx^2 fx g) c d(ax^2 bx c)^2 f(ax^2 bx c) g = 2(ax^2 bx c)(dx^2 fx g)