Onko tuossa Wikipedian artikkelin esimerkissä virhe?
https://fi.wikipedia.org/wiki/Möbius-kuvaus
Itse sain vastaukseksi (monen tarkistuskerran jälkeenkin) (z - i)/(iz - 1).
https://fi.wikipedia.org/wiki/Möbius-kuvaus
Itse sain vastaukseksi (monen tarkistuskerran jälkeenkin) (z - i)/(iz - 1).
Vastaukset 6
Vanhimmat
Kyllä siinä vaikuttaisi wikipediassa virhe olevan. Tuossa wikipedian kuvauksessahan selvästi -1 menee ei-reaaliseksi (ja 2 menee nollaksi, joka jo on toisin kuin kuvaus haluttiin muodostaa, eli 1--> -1, i--> 0, -1 --> 1).
Sinun kuvauksessasi nuo kuvautuvat oikein, ja koska kolme pistettä määräävät Möbius-kuvauksen, on koko kuvaus "oikein".
Itsekin määritin tässä vastikään vastaavan kuvauksen. Minä vaan vein 1->0, i->1 ja -1:n äärettömään. Siitä tuli kuvaus (z-1)/(iz i).
Kiitos vahvistuksesta.
Olet oikeassa, ja korjasinkin sen Wikipedian artikkelin.
Osaisitko muuten sanoa (muutkin saavat toki vastata), onko seuraava menettely täysin pätevä määritettäessä Möbius-kuvauksia:
Aluksi "arvataan" oikea kuvaus ja sitten näytetään, että kolme pistettä tosiaan kuvautuvat toivotulla tavalla. Lopuksi todetaan, että kolme pistettä määrittävät Möbius-kuvauksen yksikäsitteisesti, joten muita ratkaisuja ei ole.
Kyllä se on pätevä menetelmä, jos tiedetään, että on olemassa Möbiuskuvaus joka tekee halutun kuvauksen (esimerkiksi vie jonkun tietyn yleistetyn ympyrän toiseksi, tällainenhan on aina olemassa, sillä mitkä tahansa kolme pistettä voidaan viedä miksi tahansa kolmeksi pisteeksi [laitetaan ne kaksoissuhteeseen] ja kolme pistettä määrittävät yleistetyn ympyrän).
Yksi lisähuomio, tuossa (yleistetty) ympyrä-tapauksessa. Ne kolme pistettähän voidaan valita lähtöympyrältä ja kuvalta miten halutaan. Näin saadaan monta erilaista kuvausta. Niiden pisteiden järjestys on kuitenkin oleellinen siinä mielessä, että kuinka halutaan ympyröiden "ulko- ja sisäpuolten" kuvautuvan. Järjestyksiä on kaksi mahdollista, koska pisteet ovat ympyrällä. Jos lähtöpisteet ja kuvapisteet valitaan "samassa järjestyksessä" (eli kiertäen ympyrät samaan suuntaan), niin sisäpuoli menee sisäpuoleksi. Jos järjestys vaihdetaan, niin ulkopuoli meneekin sisäpuoleksi.
Mitähän "arvaamista" tässä tarvitaan? Jos halutaan se lineaarinen transformaatio (Möbius kuten sinä sanoit) w= w(z) jolle
w(z1) = w1, w(z2) = w2 ja w(z3) = w3 niin sehän saadaan tuosta "cross-ratio"-kaavasta
((w - w1)/(w-w2)) / ((w3 - w1)/(w3-w2)) = ((z - z1)/(z-z2))/((z3 - z1)/(z3-z2)).
(Ja kyllä, kaava w(z) = (z-i)/(iz-1) on oikein, w(1) = -1, w(i) = 0 ja w(-1) = 1.)
Ohman