Tarkoituksena olisi määrittää seuraavan sarjan summa:
∞
Σ ( 8sin((2n-1)x) ) / ( π(4(2k-1)-(2k-1)^3) )
n = 1
Osaisiko joku auttaa?
∞
Σ ( 8sin((2n-1)x) ) / ( π(4(2k-1)-(2k-1)^3) )
n = 1
Osaisiko joku auttaa?
Sarjan summa
Sarja5365645
1967
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 19
Vanhimmat
Taitaa hajaantua. Huomaa, että nimittäjä on vakio. Siten riittää tutkia sarjaa sum_{n=1}^\infinity 8 sin ((2n-1)x). Mutta osasummille on voimassa sum_{n=1}^m 8 sin ((2n-1)x)=8 csc x sin^2(mx). Mutta sin mx taitaa saada vaikka mitä arvoja kun m käy läpi kaikki kokonaisluvut.
Nimittäjässä pitäisi olla π(4(2n-1)-(2n-1)^3). En huomannut tuota. Pahoittelen.
Miksi tehdä näin yksinkertainen asia noin mutkikkaaksi? Vastaushan löytyy lausekkeesta 2r*piikoo/cc.=jokainen sen selville saanut tietää vastauksen.
Oikea vastaus on 2*(pii k)/(ccn).
Tai ainakin tähän minä päädyin.
Vai olisiko sittenkin (mn)/c = q/a?
-(i e^(-2 i x) (-1 e^(2 i x))^2 (tanh^(-1)(e^(-i x))-tanh^(-1)(e^(i x))))/(2 pi)
Miten löysit tuon?0Äänestä
Oma vastaukseni:
ExptoTrig[FourierSineSeries[Piecewise[{{(sinx)^2,0
Tai oikeastaan tuossa siis:0Äänestä
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ExptoTrig[FourierSineSeries[Piecewise[{{(sinx)^2,0
Et tainnut sieventää loppuun. Jos summataan reaalifunktioita, on vastaus aika varmasti reaalinen.
Voihan siihen laittaa Re(...).
No eikö Im olisi helpompi? Siis mielestäni sin((2n-1)x) = Im e^(i(2n-1)x). Vai miten ajattelit laske reaaliosan avulla?
Mielestäni tosta tulee -2/3 jos x on -piin ja nollan välissä
ja 2/3, jos x= nollan ja piin välissä.
Perustuu siihen että funktio f(x)= ±2/3, Fourierin sarjana on tuo summa.
b_n = (2/π) int (0->π) (2/3)sin(nx) dx = 4( 1 - (-1)^n ) /(3πn)
Kun n on pariton, niin tuo on 8 / (3πn). Eli ei taida valitettavasti toimia, jos en nyt pahasti tyrinyt.
Ei se toimikaan kun etumerkitkään ei täsmää. Pitäisiköhän se olla:
f(x)=(-2/3) 2*(8sinx)/(3pi)?
No, nyt on tätä uutta asiaa jo mietittykin:
http://aijaa.com/IjVnko
Toimiikohan tuo, jos funktio on jo valmiiksi n:stä riippuva...
En tiedä yhtään mitä tuli tehtyä, ja miten tuota edes tulkitaan. Muutettiinko tässä nyt sitten joku reaalilukusarja sarja Fourierin sarjaksi ?
Annetaan olla...
Toi kysyjän sarja taitaa sisältää kaikki Fourier-laajennukset mitä tästä
2/(4-(2n-1)^2) irtoaa, eli laajennukset luvuille: (2/3), (-2/5), (-2/21)...jne
Näiden kaikkien laajennuksien summa on on sama kuin sum(2/(4-(2n-1)^2) ).
Ja ainakin Wolfram Alphan mielestä se on 0.
Koiko homma pitää kait tehdä vähän toisella lailla, ja tuossa on siitä vielä yksi(viimeinen) suttupapru..
http://aijaa.com/R1AGBC
Wolframi kun vetää helponnäköisesti tommosen kaavan tolle summalle:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum(2/(4-(2n-1)^2) ) from 1 to m
Niin miten toi helppo summan lauseke saadaan ?
Annanpa sinulle apua.
Taulukkokirjan mukaan on
Summa (k >= 1) ((-1)^(k 1) * cos((2k 1) x)) / ((2k - 1) * (2k 1) * (2k 3))
= pii/8 * cos^2(x) - (1/3) cos(x) kun -pii/2 <= x <= pii/2.
Lisäksi tuo sinun nimittäjässä oleva lausekkeesi on 4(2k - 1) - (2k - 1) ^3
= -(2k 1) (2k - 1) (2k - 3).
Kun vielä osaat laskea mitä cos((2k 1)(x pii/2)) on sinifunktion avulla lausuttuna niin sinulla pitäisi olla tehtäväsi ratkaisun avaimet kourassa
Ohman
.