Äärellisyys...

Äärellinen tarkoittaa määräisen kokoista. Esimerkiksi pöydän pinta tai maapallon pinta on äärellinen.

Käsitettä ei pidä sekoittaa rajalliseen. Pöydän pinta on rajallinen, mutta maapallon pinta on rajaton.

Äärellisellä ei ole aitoa osaa, joka olisi samankokoinen kuin se itse.

Jos sinulla on äärellinen joukko alkioita, niin silloin voit nimetä alkiot (bijektiivisesti) numeroin {1,2,3...,S}, ja edeltävässä pätee, ettei joukosta löydy enää alkiota, jonka voisi nimetä termillä S 1.

Äärettömien joukkojen tapauksessa tuo ei enää toimi, sillä jos oletetaan, että esimerkiksi luonnollisten lukujen joukolla N = {1,2,3,...} olisi suurin alkio S, niin ottaen huomioon, että myös luku S 1 on luonnollinen luku, niin päädytään ilmeiseen ristiriitaan S 1
Joukko-opissa oletetaan aksioomana äärettömän joukon olemassaolo, joka siis on käytännössä sama (isomorfinen) kuin luonnollisten lukujen joukko. Kun edeltävä aksiooma yhdistetään potenssijoukon aksioomaan, jonka mukaan siis voidaan muodostaa jostain joukosta joukko, joka sisältää kaikki alkuperäisen joukon osa-ajoukot, niin tapahtuu jotain outoa: koska potenssijoukko on aina suurempi kuin alkuperäinen joukko, niin on myös olemassa äärettömiä joukkoja, jotka ovat "suurempia" kuin toiset äärettömät joukot. Äärellisen joukon potenssijoukko on tietysti aina äärellinen.