Opettajilla on käytössään kaksi kopiokonetta.Isompi on rikki tod.näk. 0,1 ja pienempi tod.näk. 0,3. Ainakin toinen on ehjä tod.näk. 0,95. Millä todennäköisyydellä molemmat ovat ehjiä?
todennäköisyyksiä
Lfkwbfå
12<50
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
100 - 35 = 65 %
Vai olisiko 0,9 0,7-0,95=0,65
19/20 - 3 /1 0*5/6 - 1/10*1/2 = 13/20 = 0,65
Olkoon A tapaus "isompi on rikki" ja B tapaus "pienempi on rikki" ja C(A) ja C(B) näiden komplementtijoukot tn-avaruudessa. P(A) = 0,1 ja P(B) = 0,3.
"Ainakin toinen on ehjä" on tapaus C(A) U C(B) ja sen tn on
P(C(A)) P(C(B)) - P(C(A)) * P(C(B)) = 0,9 0,7 - 0,63 = 0,97.
Nähdään, että tehtävässä on virhe, tuoksi tn:ksi oli annettu 0,95.
Jos kuitenkin käytetään noita annettuja todennäköisyyksiä P(A) ja P(B) niin tapauksen"molemmat ovat ehjiä" tn on
P(C(A)) * P(C(B)) = 0,9 * 0,7 = 0,63.
Ohman
Oletko varma että tehtävässä on virhe? Sinä oletat että kopiokoneiden kunnot ovat toisistaan riippumattomia tapahtumia. Jos ne eivät ole, esim. sähkökatkon takia voi olla korrelaatiota ei-toimivuudelle ja siksi "molemmat toimimattomat" voi olla 0,05 vaikka riippumattomuusoletuksella saadaan 0,03.
Itse laskin seuraavasti:
P(A jaB ) = P(A tai/jaB )-P(A jaB-)-P(B jaA-) = P(A tai/jaB )-(P(A )-P(A jaB ))-(P(B )-P(A jaB )), siis
P(A jaB ) = 0,9 0,7-0,95=0,65
Ei puhuttu toimimattomuudesta vaan siitä, onko kopiokone "rikki" vai "ehjä" . Ei tähän asiaan sähkökatkot vaikuta . Jos näillä on toistensa ehjyyteen jokin salaperäinen korrelaatio niin mikäs siinä sitten mutta sanamuoto toi kyllä mieleeni tuon oman ratkaisuni.
Ohman
Ei myöskään sanottu että kopiokoneiden toimivuus on toisistaan riippumatonta. Ajatellaan vaikkapa ääritapausta, sellaista korrelaatiota että A on rikki vain silloin kun B:kin on rikki. Silloin molemmat toimivat todennäköisyydellä 0,7. Vastaavasti jos A on rikki vain silloin kun B ei ole rikki, saadaan vastaukseksi todennäköisyys 0,6.
Jos koneiden toiminta olisi toisistaan riippumatonta, tuo todennäköisyys 0,95 olisi tarpeeton tieto. Nyt se ilmaisee tehtävässä toimivuuden korrelaatiota.
Tämä on kyllä usein sanallisten tehtävien ongelma kun pitäisi ruveta myös miettimään onko se tehtävänanto mitenkään järkevä vaikka sillä ei ole tässäkään mitään tekemistä sen matematiikan kanssa. Yritetään jotenkin keinotekoisesti luoda yhteys jonkun perus matematiikan käsitteen ja reaalimaailman välille.
Arkijärki sanoo, ettei kopiokoneiden toiminta ole toisistaan riippuvainen. Joutuu keksimään juuri mainitsemasi kaltaisia selityksiä jotta tehtävänannosta saa edes jotenkin järkevän. Tällä taas ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.
Sellainen ideaalimaailma jossa eri tapahtumat ovat toisistaan täysin riippumattomia on itse asiassa aika harvinainen. Jokin nopan- tai kolikonheitto tai kortinveto on lähinnä sellainen. Reaalimaailmassa sen sijaan on usein riippuvuuksia, joko ilmeisiä tai piilosellaisia ja siksi on tarkasteltava, onko esim. mahdollisia yhteisvikaantumissyitä, ennen kuin tehdään riippumattomuusoletus. Se on hyvin tärkeätä esim. ydinvoimalaitosten riskianalyyseissä.
Kopiokoneiden tapauksessa voi käydä niin että pienempi on rikki mutta kun isompi ja tehokkaampi on käytössä, korjaaja ei kutsuta heti. Sitten kun isompikin menee rikki, kutsutaan korjaaja hoitamaan molemmat kuntoon. Ihan arkijärjen mukainen selitys kun viitsii vähänkin vaivata päätään.
Ja matematiikassa on kyllä keinot tuollaisten toisistaan riippuvien tapausten ratkaisemiseen, kunhan on tarvittavat lähtötiedot. Puheena oleva tehtäväkin on ratkaistavissa annetuilla tiedoilla ilman riippumattomuusoletusta.
En minä väittänyt, että se ei olisi ratkaistavissa. Jos tuollainen maaginen kopiokoneiden rikkoutumisen korrelaatio hyväksytään, on tietysti (* olkoon leikkauksen merkki)
P(C(A) * C(B)) = P (C(A U B)) = 1 - P(A U B) = 1 - P(A) - P(B) P(A*B) =
1 - 0,1 - 0,3 0,05 = 0,65 kuten täällä on monasti jo todettu. Tuo 0,05 tulee siitä, että 0,95 = P(C(A) U C(B)) = P(C(A * B)) = 1 - P(A * B) joten P(A * B) = 1 - 0,95 = 0,05.
Ohman
>Arkijärki sanoo, ettei kopiokoneiden toiminta ole toisistaan riippuvainen.
Arkijärki sanoo että kopiokoneiden toiminta on toisistaan jossain määrin riippuvainen. Esim sähkäverkon ylijännetepiikki voi rikkoa molemmat samanaikaisesti. Tehtävänannossa selvästi indokoitiin tämä riippuvuus.
Juuh tuo kommentti nyt koski ihan vaan yleisesti kirjallisia tehtäviä kyllähän tuon tehtävän nyt jokainen hieman joukko-oppia osaava osaa matematiikan kielelle pulmitta pukea...