Miten johdetaan/perustellaan se, että vapaasti riippuva ketju tai köysi asettuu hyperbolisen kosinin muotoon?
Lähinnä tulee mieleen käyttää fysiikan puolelta Newtonin toista lakia, ΣF=ma, josta saadaan ΣF=0 koska jokainen köyden piste on paikallaan. Jokaiseen pisteeseenhän vaikuttaa painovoima sekä köyden jännitysvoima kahteen suuntaan, mutta koska tämä tarkastelu on tehtävä köyden jokaisessa pisteessä, tarvittaneen hieman monimutkaisempaa differentiaalilaskentaa?
Mikäli joku osaa tällaisen johtamisen tehdä, kirjoittakoon sen tänne.
Lähinnä tulee mieleen käyttää fysiikan puolelta Newtonin toista lakia, ΣF=ma, josta saadaan ΣF=0 koska jokainen köyden piste on paikallaan. Jokaiseen pisteeseenhän vaikuttaa painovoima sekä köyden jännitysvoima kahteen suuntaan, mutta koska tämä tarkastelu on tehtävä köyden jokaisessa pisteessä, tarvittaneen hieman monimutkaisempaa differentiaalilaskentaa?
Mikäli joku osaa tällaisen johtamisen tehdä, kirjoittakoon sen tänne.
Vastaukset 9
Vanhimmat
tähän tulee olemaan niin monta oikeata vastausta, että.... katsotaan
Minä sen johtamisen syksyllä itselleni selvitin, ja se ainakin löytyy tästä ketjusta(vitsi), siis aeija nimmarin kohdalta: http://keskustelu.suomi24.fi/t/13882204/ketjukayra
Matikan oppikirjassa tuon johtamiseen menee neljännes A-nelosta. Tänne sitä on aivan turha kopioida hölmöjen ihmeteltäväksi.
Katso wikipediasta jos et osaa googlea käyttää.
Kerrotaan nyt kuitenkin sen johtamisen idea. Ketjuun vaikuttaa painovoima ja jännitysvoima. Otetaan pieni pätkä ketjua. Siihen vaikuttaa painovoima suoraan alaspäin ja jännitysvoimat eri päihin, joiden suuruudet ovat samat mutta suunnat hieman erilaiset niin että niiden resultantti kumoaa pätkään vaikuttavan painovoiman. Tuosta saa diffisyhtälön jota pyörittelemällä saa ratkaistua ketjukäyrän.
Olettaisin että jännitysvoimat ovat ketjun tangentin suuntaiset jokaisessa pisteessä?
Laita tähän se johtaminen kun on kerta niin helppoa
Aloittaja
Ei ne taida sitä laittaa, koska minä sen jo laitoin....
Ketjun tasapainoasemassa sen painopisteen tulee olla mahdollisimman alhaalla.Jos ketjun päätepisteet ovat P1(x1,y1) ja P2(x2,y2) ja sen pituus on L on haettava integraalin I(P1,P2) (y ds) minimi ehdolla I(P1,P2) (ds) = L.
Tämä johtaa variaatioprobleemaan , missä on etsittävä ekstremaali variaatioprobleemalle
I(P1,P2) ((y - c) ds) = I(P1,P2) ((y - c) (sqrt(1 (y')^2) dx)
Ratkaisuja edustaa yhtälö
y - c = (a/2) (e^((x - b)/a) e^(-((x-b)/a)) jossa a ja b ovat mielivaltaisia vakioita. Nämä ekstremaalit ovat ketjuviivoja.Vakiot a,b ja c saadaan määrättyä eksplisiittisesti käyrän y=y(x) päätepisteiden (x1,y1),(x2,y2) ja pituuden L avulla.
Katso esim. Wikipediasta "ketjuviiva" tai englanninkielisestä "catenary" tai sitten jostain kunnon oppikirjasta jos haluat tietää lisää.
Tämä ketjuviiva liittyy toiseenkin hauskaan probleemaan. On annettu pisteet P1 ja P2 puolitasossa y >=0. Yhdistetään nämä pisteet samassa puolitasossa kulkevalla käyrällä c ja annetaan tämän pyörähtää x-akselin ympäri jolloin syntyy pyörähdyspinta S.Mikä käyrä antaa S:lle pienimmän mahdollisen pinta-alan? No, se on ketjuviiva.
Ohman
Entä miten peustellaan se, että kun svingaa jengiä kettingillä Hakiksen torilla, kettingin lenkit asettuvat painovoimaa uhmaten tangentin suuntaan osoittavaksi suoraksi ketjuviivaksi ennen iskeytymistään jengin daijuihin. Lähinnä tulee mieleen Newtonin painovoima- ja kiihtyvyyslaki - c = (a/2) (e^((x - b)/a) e^(-((x-b)/a)).
Tuossa on juttua aiheesta matematiikkalehtisolmu.fi/2003/3/alestalo.pdf