Ihan perusjuttuja kai, mut ei vaan nyt aukea.
Pitäisi todistaa, että yhtälöllä a b*sqrt(3) = sqrt(2) ei ole ratkaisua, mikäli b ja a kuuluvat rationaalilukuihin.
Itse lähdin ensin kertomaan puolittain sqrt(2) :lla, jolloin päädyin yhtälöön
a*sqrt(2) b*sqrt(6) = 2, eli kahden irrationaaliluvun summa on rationaaliluku. Tämä ei kuitenkaan ole vielä ristiriita, sillä esim. pi (1-pi) =1.
Olisiko kenelläkään antaa vinkkejä, kuinka tuon saisi todistettua. Idea tuskin on vaikea, mutta ei vaan itseltä nyt lähde
Pitäisi todistaa, että yhtälöllä a b*sqrt(3) = sqrt(2) ei ole ratkaisua, mikäli b ja a kuuluvat rationaalilukuihin.
Itse lähdin ensin kertomaan puolittain sqrt(2) :lla, jolloin päädyin yhtälöön
a*sqrt(2) b*sqrt(6) = 2, eli kahden irrationaaliluvun summa on rationaaliluku. Tämä ei kuitenkaan ole vielä ristiriita, sillä esim. pi (1-pi) =1.
Olisiko kenelläkään antaa vinkkejä, kuinka tuon saisi todistettua. Idea tuskin on vaikea, mutta ei vaan itseltä nyt lähde
Vastaukset 6
Vanhimmat
Aukesikin jo, miten helkutissa ei tullut heti mieleen korottaa koko yhtälöä toiseen potenssiin :D
Jos siis olisi
a b*sqrt(3)=sqrt(2),
missä a ja b olisivat rationaalilukuja, niin korottamalla puolittain neliöön saataisiin
a^2 2*a*b*sqrt(3) 3*b^2 = 2
<=> sqrt(3) = (2-a^2-3*b^2)/(2*a*b)
ts. sqrt(3) olisi rationaaliluku.
Ettei näin ole, voidaan todistaa samalla tavalla kuin perusopinnoista tuttu luvun sqrt(2) irrationaalisuus.
Erittäin tärkeää olisi myös huomata, mitä tällaisella tehtävällä yleisemmällä tasolla haetaan takaa.
Kysymys on siitä, että osoitetaan, ettei yhtälöllä
x^2 = 2
ole ratkaisua kunnassa Q(sqrt(3)) eli luvun 3 neliöjuurella laajennetussa rationaalilukujen kunnassa. Siis kunnat Q(sqrt(2)) ja Q(sqrt(3)) eivät ole samat.
Kyllä, juuri näin lopulta ratkaisin tehtävän itsekin. Kuntiin en ole hirveästi ehtinyt tutustua vielä, mutta loogiseltahan tuo kuulostaa. EIkö tuo trkoita myös, että Q(sqrt(3)) ja Q(sqrt(2)) eivät ole isomorfiset?
Kyllä, juuri tuotahan se tarkoittaa. Jos ne olisivat isomorfiset eli rakenneyhtäläiset, niin ne sisältäisivät aina samoille yhtälöille ratkaisut.
Määritellään kuvaus f : Q(sqrt(2)) -> Q(sqrt(3)) näin:
Kun x on rationaalinen niin f(x) = x
Kun x = sqrt(2) niin f(x) = f(sqrt(2)) = sqrt(3)
f(a b) = f(a) f(b) f(ab) = f(a) f(b).
Eikö tämä ole isomorfismi?
No ei se ole. f(2) = f(sqrt(2) * sqrt(2)) = f(sqrt(2)) * f(sqrt(2)) = sqrt(3) * sqrt(3) = 3 mutta kuvauksessa piti olla f(2) = 2.
Heko-heko! Huomasinpas!