Hajamielisellä professorilla on pidettävänään yksi luento jokaisena viitenä ar-
kipäivänä viikossa. Hän muistaa kuitenkin pitää päivittäisen luentonsa vain 80
prosentin todennäköisyydellä.
a) Millä todennäköisyydellä hän muistaa pitää viikon kaikki luentonsa?
b) Millä todennäköisyydellä vain yksi viidestä luennosta jää pitämättä?
c) Määritä hänen viikossa muistamiensa luentojen lukumäärän odotusarvo
tää tehtävä on Pitkän Matikan 2016 mallikoe yo- kokeesta.
kipäivänä viikossa. Hän muistaa kuitenkin pitää päivittäisen luentonsa vain 80
prosentin todennäköisyydellä.
a) Millä todennäköisyydellä hän muistaa pitää viikon kaikki luentonsa?
b) Millä todennäköisyydellä vain yksi viidestä luennosta jää pitämättä?
c) Määritä hänen viikossa muistamiensa luentojen lukumäärän odotusarvo
tää tehtävä on Pitkän Matikan 2016 mallikoe yo- kokeesta.
Vastaukset 6
Vanhimmat
a) P(muistaa kaikki) = 0,8^5
b) P(täsmälleen yksi jää pitämättä) = C(5,1) * 0,8^4 * 0,2
(C(n,m) = n! / ((m!) * (n-m)!))
c) E(pidetyt luennot) = Summa (0 <= i <= 5) (i * C(5,i) * 0,8^i * 0,2^(5 - i))
Ohman
miten toi odotusarvo siis menee
No annat i:lle arvot 0,1,2,3,4 ja 5, lasket kullakin i:n arvolla termin C(5,i)* 0,8^i * 0,2^(5-i) arvon ja lasket nämä yhteen.
Diskreetin satunnaismuuttujan X odotusarvo on Summa(x(i) *P(X = x(i)), missä nuo luvut x(i) ovat sen X:n eri arvot.
Enpä oikein tiedä miten enemmän selittäisin.
Ohman
Jäi i pois. Pitää siis laskea kullakin i:n arvolla tuon mainitsemani lausekkeen arvo, kertoa se i:llä ja laskea näin saadut luvut yhteen. 1. yhteenlaskettavassa i = 0 joten siitä ei tule mitään tuohon summaan.
Sori lipsahdukseni.
Ohman
Olkoon X pidettävien luentojen määrä. Nyt X noudattaa binomijakaumaa parametrein n = 5 ja p = 0,8. Kohdassa c saa käyttää hyväksi tietoa binomijakauman odotusarvosta.
E(X) = n * p = 5 * 0,8 = 4
Siis siinä kerrotaan viikossa pidettävien luentojen lukumäärä i sen todennäköisyydellä p(i), jolloin saadaan kunkin osuus odotusarvoon, ja nuo osuudet lasketaan yhteen odotusarvon saamiseksi:
p(0)*0 p(1)*1 p(2)*2 p(3)*3 p(4)*4 p(5)*5
Ja nuo todennäköisyydet saadaan binomijakaumasta kuten Ohman selitti.