Taylorin polynomi

Kun derivoidaan 60 kertaa, niin ensimmäinen termi, joka tulee erisuureksi kuin 0 on se, jonka eksponentti on 60. Se antaa myös derivaatan arvon pisteessä 0, koska se on vakio. Seuraavissa termeissä on x:n potensseja. jotka ovat 0, kun x = 0. Vielä on tutkittava minkälaisia tekijöitä ilmaantuu, kun x^60 derivoidaan 60 kertaa. Niistä osa supistuu, kun mukaan otetaan x^^60 kerroin.

Riippuu siitä, mikä funktio f on.

En oikein mitenkään, mutta

f'=-sinx(0)=0
f''=-cosx(0)=-1
f'''=sinx(0)=0
f''''=cosx(0)=1
f'''''-sinx(0)=0, tästä kohtaa lähtee uusi neljän putki, joten myös f^57=-sinx(0)=0, koska 4*14=56
Koska f^57(0)=0, niin
f^58(0)=-1
f^59(0)=0
f^60=cosx(0)=1

Se termi tuossa polynomissa, missä se kuudeskymmenes derivaatta on = x^60/(60!)
ja se on sitten tuon yleisen termin perusteella (-1)^30*x^(2*30)/(2*30)!,
joten pitäiskö tähän nyt sitten vastata:
kuudeskymmenes derivaatta nollassa on :
(-1)^30

Jos tuo merkintä f^(60)(0) tarkoittaa kuudettakymmenettä derivaattaa pisteessä x = 0, niin helpostihan tämä käy.

Taylorin kehitelmä pisteessä x= 0 lausuttuna on muotoa on muotoa f(x) = f(0) f '(0) x 1/2! f ' ' (0) x^2 1/3! f ' ' ' (0) x^3 jne. cos(x):n kehitelmästä puuttuvat ne parittomat potenssit koska sin(0) = 0.

Termistä 1/(60!)f^(60) (0) x^60 = (-1)^30 * x^60 / 60! seuraa siis, että f^60(0) = (-1)^30 = 1.

Ohman