Jos pitää positiivisilla kokonaisluvuilla n_1, n_2, ... n_k (variaabeli k märä siis näitä lukuja) saada summa B, niin mitkä luvut maksimoivat tulon n_1n_2n_3....n_k?
Minkälainen summeeraus maksimoi sumattavien tulon?
nokikana234
10<50
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
B/k:t. Jos ei mene tasan, otetaan int(B/k):t ja joista tarpeellinen määrä korvataan int(B/k) 1.
Samaa veikkaan. Siis summa muotoa B=m*p (k-m)*(p 1), jolloin tulo on p^m*(p 1)^(k-m). Voidaan osoittaa että jos kahden kokonaisluvun tulossa siirretään yksikkö pienemmältä suuremmalle niin tulo pienenee. Tuollaisilla siirroilla saadaan mikä tahansa kombinaatio.
Ottakaa huomioon, että myös k on muuttuja. Esim. jos B = 10, niin tutkitaan kaikkia sen eri summahajotelmia
10 = 10
10 = 9 1
10 = 8 1 1
...
10 = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Ratkaistavaksi siis taitaa jäädä k:n valitseminen oikein (tämän jälkeen "n_i = B/k" ja ylijäämät yksi suuremmaksi).
Jos muutetaan jatkuvaksi ongelmaksi, niin pitäisi maksimoida funktio
f(x) = x^(B/x).
Maksimi löytyy B:stä riippumatta kohdasta x = e.
Pitäisi siis vissiin valita mahdollisimman moni n_i kolmoseksi (lähimpänä e:tä)
2*2*2 = 8 < 9 = 3*3
3*3*3*3 = 81 > 64 = 4*4*4
Kolmoset näyttäisi toimivan!
ja
2*3*3*3 = 54 > 48 = 3*4*4,
joten varmaan kannattaa ylijäämät laittaa kakkosina (lähempänä e:tähän kakkonen on kuin nelonen).
Eikö k olekaan kiinnitetty tehtävänannossa? Ilmeisesti vähän erikoisesti kirjoitettu. Onko siis tarkoituksena kiinnittää B ja etsiä sellainen k ja luvut n_1,...,n_k, että n_1n_2...n_k on maksimaalinen kun n_1 ... n_k=B ja n_i>0?
Juurikin näin.
Pikku havainto vaan. Jos B=4, niin 4 ja 2*2 maksimoivat tulos, joten ratkaisu ei ole yksikäsitteinen. Voi olla aika hankalaa löytää yleisessä tapauksessa kaikki optimaaliset ratkaisut.
Kolmosia ja tarvittaessa yksi tai kaksi kakkosta (tai yksi nelonen).
Nokikanan epäily että summan tekijöinä e maksimoi tulon ja kolmonen kokonaisluvuista taitaa pitää paikkansa. Jos lähdetään että x kpl e ja y kpl 3 on sama summa eli x*e=y*3, ratkaistaan y ja tarkastellaan tulojen suhdetta:
e^x/3^y=e^3/3^e=1,01
Siis: e^x/3^y=(e^3/3^e)^(x/3)=1,01^(x/3)
e antaa myös suuremman tulon kuin vaikkapa 2,6 ja 2,8.
Tuo näköjään saadaankin differentioimalla: jos x*y=vakio ja x^y maksimoidaan -> x=e.