kappaleen tilavuus

Sille,joka ei halua katsoa oppikirjasta valmista kaavaa:

Möhkäleen M tilavuus V(M) = Int(M:n yli) dV

x,y,z - koordinaatistossa dV = dx dy dz.

Käytetään nyt koordinaatistoa y = r cos(u), z= r sin(u), x = x

dx dy dz = J(x,y,z;r,u,x) dr du dx ( J on Jacobin determinantti).

Näillä muuttujilla J = r ja V(M) = Int(0 <= u <= 2 pi)Int(0 <= x <= pi) Int(0 <= r <= 2 sin(x)) r dr dx du = 2 pi Int(0 <= x <= pi) (Sij(0,2 sin(x)) (r^2/2 )) dx = 4 pi Int(0 <= x <= pi) sin^2(x). Ja tämä integraalihan on jo laskettu.

Laskun voi laskea tietenkin myös x,y,z-koordinaatistossa mutta silloin siitä tulee hiukan hankalampi.

Monasti näissä tilavuuslaskuissa on hankalinta löytää ne ylä- ja alarajat jotka määrittelevät möhkäleen M. Sopivien muuttujien valinta helpottaa tässä mutta on muistettava sitten ottaa mukaan se Jacobin determinantti.

Ohman

Kiitos sinulle!
Silti näyttää, että en saa oikeaa vastausta:/
Tyhmä kun olen...

sin^2(x) = 1/2(1 - cos(2x)) ja Int(0,pi) (1/2 (1 - cos(2x)) dx = 1/2 * Sij(0,pi) (x -1/2 *sin(2x)) = pi/2. Koko vastaus on siis 4 pi * pi/2 = 2 pi^2

Ohman

aidaliina kirjoitti:

Kiitos sinulle!
Silti näyttää, että en saa oikeaa vastausta:/
Tyhmä kun olen...

Ole hyvä.
Tuossa saitkin jo vastauksen, mutta totean vielä itse, että integroitaessa funktiota sin²(x) tai cos²(x) kannattaa pitää mielessä tuo kosinin kaksinkertaisen kulman kaava.