Määritä alkuarvotehtävän
y′=−3⋅(2 y)/x,
y(−1)=−11, ratkaisu.
Vihje: Ratkaisu voidaan sieventää muotoon a b/xc
Tiedän miten tämä lasketaan, mutta en osaa sieventää vastausta oikeaan muotoon.
Osaisiko joku viisaampi auttaa.
y′=−3⋅(2 y)/x,
y(−1)=−11, ratkaisu.
Vihje: Ratkaisu voidaan sieventää muotoon a b/xc
Tiedän miten tämä lasketaan, mutta en osaa sieventää vastausta oikeaan muotoon.
Osaisiko joku viisaampi auttaa.
Vastaukset 5
Vanhimmat
y ' / (2 y) = - 3 /x ja siis d/dx(ln(2 y)) = -3 d/dx( ln x) =d/dx( ln x^(-3)) =d/dx( ln (1/x^3)) ja ln(2 y) = ln(1/x^3) D ja siis 2 y = C*( 1/x*3) missä C = e^D, D on integroimisvakio.Lopulta y = C/x^3 - 2
Ratkaisu toteuttaa yhtälön, sillä y ' = -3 C /x^4 ja y ' / (2 y) = -3 /x.
Kun x = -1 on y(-1) = -C - 2 = - 11 joten C =9 ja lopullinen ratkaisu on
y = 9/x^3 - 2
Ohman
Näkyy olevan tuolla ratkaisussa (ln x), ja sitten lopussa tarjotaan , että x= -1.
Ei käy sanottiin pankissa.
Niinpä.Olisi pitänyt kirjoittaa ln l 2 y l = ln ( 1/ l x l ^3) D jne.Mallivastaus näkyi tuon jo tehneen niin että aiheetta enempään
Ohman
Huomataan, että y ≡ -2 toteuttaa annetun diff.yhtälön. Muut ratkaisut saadaan separoimalla.
y′ = −3(2 y) / x
dy/dx = −3(2 y)/x
dy/(2 y) = (-3/x) dx
∫ dy/(2 y) = ∫ (-3/x) dx
ln |2 y| = -3ln |x| C
2 y = ± e^C / x³
y = ± e^C / x³ - 2
Kaikki ratkaisut voidaan siis kirjoittaa muodossa
y(x) = A / x³ - 2, missä A ∈ ℝ.
Määritetään vielä lopuksi vakion A arvo.
y(−1) = −11 <=> -A - 2 = -11 <=> A = 9
Vastaus: y(x) = 9 / x³ - 2
Määritä ite niin opit jotakin! Pitääkö jonkun muun pyyhkiä sun perseesikin?