vaikea matikan tehtävä

Helposti havaitaan, että suorakulmion ala on A = 2·x·y. Etsitään suorakulmion alan ääriarvo derivoimalla alan A lauseke x:n suhteen ja ratkaisemalla yhtälö A' = 0.

Siinä se.

Olkoot ne x-akselilla olevat kärjet pisteissä (x1,0) ja (x2,0).Tuolla ympyrällä x^2 y^2 = 5^2 olevien kärkien tulee olla yhtä korkealla x-akselista sillä muuten ei saada suorakulmiota.Tästä seuraa, että sqrt(25 - x1^2) = sqrt(25 - x2^2) eli x1 = /- x2.Molemmat eivät voi olla positiivisella x-akselilla joten on oltava esim. x1 = - x2, missä x2 > 0. Tämä seuraa tilanteen geometriasta.Merkitään yksinkertaisesti x2 = x.

Suorakulmion ala A(x) = (x - (-x)) * sqrt(25 - x^2) = 2x sqrt(25-x^2)

A' (x) = 2 sqrt(25 - x^2) 2x * (- x /sqrt(25 - x^2)) = 2 sqrt(25 - x^2) - 2x^2 /sqrt(25 - x^2) = (50 - 4 x^2) / sqrt(25 - x^2)

A' (x) = 0 kun 50 - 4x^2 = 0 eli kun x = /- sqrt(50/4) = /- 5 / sqrt(2)

Valitaan nyt x = 5/sqrt(2), se toinen kärkihän on sitten - x.

Nähdään, että kun x < 5/sqrt(2) niin A' (x) > 0 ja kun x > 5/sqrt(2) niin A' (x) < 0.

A' (x) siis vaihtaa etumerkkinsä plussasta miinukseksi kun x ohittaa pisteen 5/sqrt(2) missä pisteessä A' (x) = 0. Tuossa pisteessä on siis funktion A(x) maksimi ja tämän arvo on

A(5/sqrt(2)) = 2 * 5/sqrt(2) * sqrt(25 - 25/2)) = 2 * 5/sqrt(2) * 5/sqrt(2) = 25.

MOT

Ohman