Voidaanko normaalia yhtälöä (esim. 4x^2 5=2x 2) derivoida ja integroida puolittain siten, että yhtäpitävyys säilyy? Olettaisin näin, sillä vasen ja oikea puoli ovat yhtäsuuruuden perusteella sama funktio, jolloin niillä on oltava myös sama derivaatta- ja integraalifunktio (integroimisvakiota huomioimatta)?
Mikäli yhtälöä käsiteltäessä nämä differentiaalilaskennan operaatiot voidaan suorittaa, säilyykö yhtäpitävyys yhtälön tyypistä riippumatta kaikissa tapauksissa?
Kiitos
Mikäli yhtälöä käsiteltäessä nämä differentiaalilaskennan operaatiot voidaan suorittaa, säilyykö yhtäpitävyys yhtälön tyypistä riippumatta kaikissa tapauksissa?
Kiitos
Vastaukset 11
Vanhimmat
Kyllä säilyy, mikäli funktiot ovat integroituvia tai jatkuvasti derivoituvia .
Tuossa esimerkissä nuo funktiot eivät todellakaan ole samat. Derivointi ja integrointi säilyttävät yhtäsuuruuden vain, jos funktiot todella ovat samat, eli esim. tapauksessa 2x 1=2x 1, mikä ei ole erityisen kiinnostavaa.
8x^2x' = 2
Ei voi. Derivaatta ja integraali liittyy funktioihin. En ole koskaan ainakaan kuullut, että nuo käsitteet olisi laajennettu myös yhtälöille. On toki olemassa differentiaali- ja integraaliyhtälöitä, joille on kehitetty hurjasti teoriaa.
Ongelmia tulee ainakin siinä, että jos polynomimuotoisen yhtälön voisi derivoida tai integroida, niin polynomien aste muuttuisi ja samalla juurten lukumäärä muuttuisi, koska polynomilla on aina asteensa määrän verran juuria kompleksitasossa.
Voitko antaa linkin, josta tuota teoriaa löytyy..
>vasen ja oikea puoli ovat yhtäsuuruuden perusteella sama funktio
Tämä on väärä johtopäätös. Yhtälössä nimenomaan haetaan ratkaisua sille, millä muuttujan arvoilla yhtäsuuruusmerkin eri puolilla olevat (eri) funktiot saavat saman arvon.
Mikäli funktiot olisivat IDENTTISESTI samat ( = yhtälö toteutuu kaikilla määrittelyjoukon arvoilla), tilanne olisi eri.
No mietihän nyt hetki. Kysyt onko kahden eri funtion derivaatat samat niissä samoissa pisteissä joissa niiden arvot ovat samat.
Luulis nyt keksivän aika äkkiä vastaesimerkin tuollaiseen pohdintaan.
No jos esimerkiksi fysiikassa on yhtälö a(t)=5t², a=kiihtyvyys, niin voidaanko silloin integroida puolittain ja saada lauseke nopeudelle ajan funktiona?
Kyllä, koska a on t:n funktio, minähän tuossa ylempänä jo yritin sitä, että x olisi funktio ja meillä olisi siis x' olemassa. Jos se kerta differentiaaliyhtälö on, niin onhan siinä oltava tuntematon funktio mukana.
paskan vitut
Tämähän ratkaisee koko jutun!