Kulman määritelmä

Ups, "minkä lähteen mukaan aukeaman pisteet kuuluvat suoraan" pitäisi olla "minkä lähteen mukaan aukeaman pisteet kuuluvat kulmaan".

Lisään vielä:

Jos nyt puhutaan tasogeometriasta niin voisi sanoa, että kahden toisiaan leikkaavan suoran välinen kulma on se mitä astelevyllä mitataan. Euklidisen geometrian välineet ovat kuitenkin vain viivotin ja harppi. Viivottimella mitataan pituuksia.

Otetaan nyt kulma jonka kärki on piste P ja sivut ovat kaksi P:stä lähtevää puolisuoraa. Piirretään harpilla P keskipisteenä ympyräviiva. Kulman kyljet leikkaavat tuon ympyrän pisteissä A ja B. Tutkitaan toista näin syntyvistä ympyrän kaarista AB. Tämän pituus olkoon a jolloin sen pituuden suhde ympyrän koko kehään on a/(2 pi r )missä r on ympyrän säde. Kaarta AB,jonka pituus siis on a, vastaava kulma (kärkipisteenään P) radiaaneissa lausuttuna on a/r.

Kokympyrän kehää vastaava kulma on 2 pi r / r = 2 pi.
Jos esim. a = pi * r niin kulma on a/r = pi. Jos a = pi/2 * r niin kulma on pi/2. Jne.

Asteissa lausuttuna kulma on a/(2 pi r) * 360 astetta.Eli tällöin (a/r) : (2 pi) = kulma asteissa : 360.

Voidaan tietysti valita r = 1 (m), jolloin kulma radiaaneissa on a/1 ja asteissa a/(1 * 2 pi) * 360.Tuo 1 on tietysti laskuissa tarpeeton mutta panin sen tähän mukaan koska kaaren pituutta mitataan metreissä mutta metrin pitää hävitä pois kulman määritelmästä.

Kulma määritellään siis tasossa näin eikä mistään pistejoukoista ole kyse.

n-ulotteisessa avaruudessa R^n vektorien A ja B välinen kulma u määritellään näin:

(A,B) = lA l * l B l * cos (u) jos kumpikaan ei ole nollavektori. Nollavektori on kohtisuorassa jokaista vektoria vastaan sillä (A,B) = 0 jos ainakin toinen noista on nollavektori.

Tuliko nimimerkille "Perusasiat_hukassa" liian tuhti annos? Kirjoitinpa nyt kuitenkin.

Ohman

Höpö höpö.

Miten sä voit antaa kulman määritelmäksi jonkun arkuskosinifunktion tietäen että arkuskosinin määritelmä pohjautuu kulman määritelmään?

HämmentynytLukija kirjoitti:

Miten sä voit antaa kulman määritelmäksi jonkun arkuskosinifunktion tietäen että arkuskosinin määritelmä pohjautuu kulman määritelmään?

cos(u) = 1 - 1/2! u^2 1/4! u^4 - 1/6! x^6 ...

arccos on tämän käänteisfunktio.

Ohman

Ohman kirjoitti:

cos(u) = 1 - 1/2! u^2 1/4! u^4 - 1/6! x^6 ...

arccos on tämän käänteisfunktio.

Ohman

Näin on, trigonometrisille funktioillehan tunnetaan sarjakehitelmät.

HämmentynytLukija kirjoitti:

Miten sä voit antaa kulman määritelmäksi jonkun arkuskosinifunktion tietäen että arkuskosinin määritelmä pohjautuu kulman määritelmään?

Kerronpa nyt vielä sinulle vähän tästä. Kyseessä on siis R^n:ssä tuon vektoreiden välisen kulman m ä ä r i t e l m ä s t ä.Jos n > 3 niin tuolla kulma ei ole samanlaista intuitiivista vastinetta kuin dimensioissa n = 2 ja n = 3. Kulma määritelläään kuitenkin analogisesti .

Jos meillä on (siis R^n:ssä) kolmio, jonka kärjet ovat vektorit 0,X ja Y niin sen sivujen pituudet ovat lXl,lYl ja lX - Yl. Jos X ja Y ovat kohtisuorassa niin Pythagoraan teoreema sanoo, että lXl^2 lYl^2 = lX-Yl^2. Ja toisalta jos tuo on voimassa niin kolmio on suorakulmainen ja suora kulma on X:N ja Y:n välissä.

Nyt lX - Yl^2 = (X - Y, X - Y) = (X,X) - (X,Y) - (Y,X) (Y,Y) = lXl^2 - 2 (X,Y) lYl^2.

X ja Y toteuttavat Pythagoraan yhtälön sjvs kun (X,Y) = 0. Näin ollen on järkevää määritellä, että X ja Y ovat kohtisuorassa sjvs kun (X,Y) = 0.

Olkoon X =/ 0. Y:n projektio X:lle määrätään yhtälöstä (Y - cX,X) = 0. Tästä seuraa, että c = (X,Y) / (X,X) ja Y:n projektio X:lle ( se c X)on siis

P = ((X,Y) /lXl^2) X.

Jos nyt Y =/ 0 niin on mielekästä määritellä X:n ja Y:n välisen kulman u kosini seuraavasti:

Jos c > 0 niin cos(u) = lPl/lYl ja jos c < 0 niin cos(u) = - lPl / lYl.

Nyt lPl = (l(X,Y)l / lXl^2) lXl = l(X,Y)l / lXl ja luvun c etumerkki on sama kuin sisätulon (X,Y).

Edellä sanotun perusteella on siis mielekästä määritellä

cos(u) = (X,Y) / (lXl lYl)

Cauchy-Schwarz-epäyhtälöstä seuraa, että (X,Y)^2 / lXl^2 <= lYl^2. Kun tämä jaetaan luvulla lYl^2 ja käytetään äsken saatua cos(u):n määritelmää saadaan

cos^2(u) <= 1 eli l cos(u)l <= 1 kuten pitääkin.

Tällainen on asian yleisesti tunnettu kirjallisuudesta löytyvä esitys.

Tämä meni nyt jo vähän yli alkuperäisen kysyjän aiheesta jossa kai sentään oli kyse kulmasta R^2:ssa (tai R^3:ssa). Mutta tässä esitetty pätee myös kun n= 2 tai n = 3.

Ohman

Ohman kirjoitti:

Kerronpa nyt vielä sinulle vähän tästä. Kyseessä on siis R^n:ssä tuon vektoreiden välisen kulman m ä ä r i t e l m ä s t ä.Jos n > 3 niin tuolla kulma ei ole samanlaista intuitiivista vastinetta kuin dimensioissa n = 2 ja n = 3. Kulma määritelläään kuitenkin analogisesti .

Jos meillä on (siis R^n:ssä) kolmio, jonka kärjet ovat vektorit 0,X ja Y niin sen sivujen pituudet ovat lXl,lYl ja lX - Yl. Jos X ja Y ovat kohtisuorassa niin Pythagoraan teoreema sanoo, että lXl^2 lYl^2 = lX-Yl^2. Ja toisalta jos tuo on voimassa niin kolmio on suorakulmainen ja suora kulma on X:N ja Y:n välissä.

Nyt lX - Yl^2 = (X - Y, X - Y) = (X,X) - (X,Y) - (Y,X) (Y,Y) = lXl^2 - 2 (X,Y) lYl^2.

X ja Y toteuttavat Pythagoraan yhtälön sjvs kun (X,Y) = 0. Näin ollen on järkevää määritellä, että X ja Y ovat kohtisuorassa sjvs kun (X,Y) = 0.

Olkoon X =/ 0. Y:n projektio X:lle määrätään yhtälöstä (Y - cX,X) = 0. Tästä seuraa, että c = (X,Y) / (X,X) ja Y:n projektio X:lle ( se c X)on siis

P = ((X,Y) /lXl^2) X.

Jos nyt Y =/ 0 niin on mielekästä määritellä X:n ja Y:n välisen kulman u kosini seuraavasti:

Jos c > 0 niin cos(u) = lPl/lYl ja jos c < 0 niin cos(u) = - lPl / lYl.

Nyt lPl = (l(X,Y)l / lXl^2) lXl = l(X,Y)l / lXl ja luvun c etumerkki on sama kuin sisätulon (X,Y).

Edellä sanotun perusteella on siis mielekästä määritellä

cos(u) = (X,Y) / (lXl lYl)

Cauchy-Schwarz-epäyhtälöstä seuraa, että (X,Y)^2 / lXl^2 <= lYl^2. Kun tämä jaetaan luvulla lYl^2 ja käytetään äsken saatua cos(u):n määritelmää saadaan

cos^2(u) <= 1 eli l cos(u)l <= 1 kuten pitääkin.

Tällainen on asian yleisesti tunnettu kirjallisuudesta löytyvä esitys.

Tämä meni nyt jo vähän yli alkuperäisen kysyjän aiheesta jossa kai sentään oli kyse kulmasta R^2:ssa (tai R^3:ssa). Mutta tässä esitetty pätee myös kun n= 2 tai n = 3.

Ohman

Lue lisää

Juu kiva. Tuo eka vastaus oli kyllä täysin riittävä.

Englanninkielen sana "vertex" tarkoittaa tiettyä pistettä. Hyperbelillä se tarkoittaa pisteitä joissa hyperbelin haarat leikkaavat polttopisteitä yhdistävän suoran. Ellipsillä se tarkoittaa jompaa kumpaa pistettä joissa isoakseli leikkaa ellipsin.Paraabelillä se on piste jossa akseli leikkaa paraabelin. Kartion vertex on se piste missä kartion generaattorit leikkaavat

Aina se näkyy pistettä tarkoittavan eikä mitään kulmaa. Oxford Advanced Learner's Dictionary sanoo mm. että "vertex is a point where two lines meet to form an angle".


Ohman

Näin ollen nollakulma olisi tyhjä joukko (ja siis avoin mutta tosin myös suljettu). Täysikulma on koko taso miinus puolisuora (ja siis avoin eikä suljettu).

Hyvä esimerkki joidenkin wikipedia-artikkeleiden tasosta.

Olisi outoa jos kulma olisi puolisuorien jäävän alue. En ole koskaan kuullut puhuttavat vaikkapa kulman pinta-alasta, vaikka joillakin alueilla on pinta-ala. Wikipedia on tässä asiassa pahasti pielessä.

eiolenäin kirjoitti:

Olisi outoa jos kulma olisi puolisuorien jäävän alue. En ole koskaan kuullut puhuttavat vaikkapa kulman pinta-alasta, vaikka joillakin alueilla on pinta-ala. Wikipedia on tässä asiassa pahasti pielessä.

Lue lisää

Niinpä. Englanninkielinen wikipedia (hakusana "angle") ei näytä sortuvan tähän.

Olisi aika outoa kun sanotaan että kulma on esim. 60 astetta niin tämä tarkoittaisi jonkun pistejoukon jotain ominaisuutta.

Lisäksi fffffs puhuu avoimista ja suljetuista joukoista. Nämä käsitteet eivät kuulu geometriaan vaan topologiaan.

fffffs on oikeassa mutta toisaalta hivenen väärässä (vain tosi vähän)

Kulma on todellakin pistejoukko tasossa. Tämä on peruskoulujen oppikirjoissakin. Kulman pinta-alasta ei voida puhua koska kysessä on äärettömmän suuri alue.

Mutta tässä menee helposti sekaisin kulma ja kulman aukeama (jota usein lyhyesti sanotaan kulmaksi)

kulma BAC on pistejoukko: puolisuorien AB ja AC yhdiste.
kulman BAC aukeama on pistejoukko: puolisuorien AB ja AC väliin jäävien pisteiden joukko (kulman sisäpisteet)

Ts. kulma ei sisällä sisäpisteitään sen enempää kuin ympyrä sisältää sisäpisteitään.

gggggt kirjoitti:

fffffs on oikeassa mutta toisaalta hivenen väärässä (vain tosi vähän)

Kulma on todellakin pistejoukko tasossa. Tämä on peruskoulujen oppikirjoissakin. Kulman pinta-alasta ei voida puhua koska kysessä on äärettömmän suuri alue.

Mutta tässä menee helposti sekaisin kulma ja kulman aukeama (jota usein lyhyesti sanotaan kulmaksi)

kulma BAC on pistejoukko: puolisuorien AB ja AC yhdiste.
kulman BAC aukeama on pistejoukko: puolisuorien AB ja AC väliin jäävien pisteiden joukko (kulman sisäpisteet)

Ts. kulma ei sisällä sisäpisteitään sen enempää kuin ympyrä sisältää sisäpisteitään.

Lue lisää

Tässä siis lienee vaihtelua kirjallisuudessa eli onko

kulma pistejoukko

1) puolisuora puolisuora
2) aukeama
3) puolisuora aukeama
4) puolisuora aukeama puolisuora

Mikä siis on oikea? Vai sopimuksen mukaan?

Professori Jorma Merikosken oppikirjassa Johdatus tasogeometriaan (2007)
kulma on määritelty puolisuorien muodostamaksi pistejoukoksi.

K.Väisälän kirjassa Geometria (1959)
kulma on määritelty puolisuorien rajaamaksi tason pistejoukoksi (kulman aukeama)
Kirja ei ota kantaa kuuluko puolisuorat myös tähän joukkoon.

Eli vastaus aloittajan kysymykseen on se, että kulman määritelmässä on paljon vaihtelua.

Ja mitä tulee siis suomen kieliseen wikipediaan niin se on oikeassa mutta ei kerro sitä että kulmaa on määritelty myös toisin.

Olin siis itse jälleen täysin oikeassa.

Jos lähdetään Väisälän määriteltämästä että kyseessä on tasoalue, niin loogisinta olisi määrittää että aukeman lisäksi aukeamaan kuuluu oikea kylki mutta ei vasen. Tällöin kulman vähentäminen toisesta olisi joukkojen vähennyslasku ja tuloksena olisi jälleen kulma. Tällöin myös joukkojen unioni olisi kulmien yhteenlasku ja jälleen kulma. Ongelman toisi nyt nollakulma.

Miten Väisälä määrittelee tasoalueen, joka kuuluu kulmaan?

Niin kyllä näitä voi käsitellä arkielämässä miten haluaa, mutta tämä keskustelupalsta on Tiede-palsta ja tarkemmin rajattu matematiikka nimiselle tieteelle. Eli kun puhutaan tällä tasolla niin se ei ole turhaa filosofiointia vaan kulmaan liityviä ongelmia voidaan käsitellä kombinatoriikan, topologian ja joukko-opin keinoin. Perusinsinööri ei tällä tasolla matematiikkaa tarvitse mutta oikeat matematiikan osaajat kylläkin. Uskomatonta että urputetaan siitä, että matematiikkaa käsitellään tieteenä kuten palstan tarkoitus oli.

ffffs kirjoitti:

Niin kyllä näitä voi käsitellä arkielämässä miten haluaa, mutta tämä keskustelupalsta on Tiede-palsta ja tarkemmin rajattu matematiikka nimiselle tieteelle. Eli kun puhutaan tällä tasolla niin se ei ole turhaa filosofiointia vaan kulmaan liityviä ongelmia voidaan käsitellä kombinatoriikan, topologian ja joukko-opin keinoin. Perusinsinööri ei tällä tasolla matematiikkaa tarvitse mutta oikeat matematiikan osaajat kylläkin. Uskomatonta että urputetaan siitä, että matematiikkaa käsitellään tieteenä kuten palstan tarkoitus oli.

Lue lisää

Tulee mieleen, olisko "maalaisajattelijan" vastaus *aloittajan* kysymykseen pelkistetympi ja siten tavallaan selkeämpi kuin Sinun ;)
Määritelmälliset asiathan eivät ole mustavalkoisia, vaan riippuvat siitä minkä teorian puitteissa noita selvitellään. Matematiikassakin teorioita riittää, ja eri osa-alueilla on hyvinkin erilaiset pyrkimykset, mielenkiinnot ja miksei 'käytännön tähtäimetkin' ja asioita määritellään usein ko.teorian kannalta mukavimmalla tavalla. Tällöin voi löytyä eri suunnista katsoen erilaisia käytäntöjä. Toki yhtenäisyyteen pyritään, se on uskottavaa.

Teoreettisessa matematiikassahan on tavallista, että samaakin teemaa käsittelevä teorian runko voi näyttää erilaiselta riippuen siitä, miten se on aksiomoitu (käytetääkö tuollaista verbiä ;)
Teoriat ovat abstrakteja juttuja, ja huolimatta jokin käsitteen kielellisestä nimityksen samuudesta, niihin voidaan eri yhteyksissä 'puhaltaa sisälle keskenään hieman erilainen henki'...
ps. kulmakäsite nyt tässä mielessä ei kovin hankala liene
ps2. tämäkään teksti ei tiukasti tieteellinen ole, mutta kombo: tiede vs. suomipalsta sallinee hieman vapausasteitakin käytettävän...