Kongruenssi

KorkeaMuuri

Nyt on itselle sen verran ylitsepääsemätön tehtävä, että tarvitaan apua.

"Määritä luvun 7^2003 kaksi viimeistä numeroa."

Viitsisikö joku avata, että mitä tässä pitää tehdä? Ja miten yleensäkin kyseisiä tehtäviä, joissa pitää määrittää luvun viimeisiä numeroita, pitäisi alkaa ratkomaan?

4

52

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • nokikana234

      Laske tuo luku 7^2003 modulossa 100. Tämä tarkoittaa kahta viimeistä numeroa, sillä ne ovat jakojäännös jaettaessa sadalla (10^k:lla kun halutaan k viimeistä numeroa).

      Tähän modulolaskemiseen voi käyttää eulerin lausetta: a^phi(n) = 1 mod n, kun syt(a,n)=1.

      https://fi.wikipedia.org/wiki/Eulerin_lause_(lukuteoria)

    • MattiKSinisalo

      Eipä tuohon Eulerin lausetta tarvita.

      Koska
      7^4 = 2401 == 1 (mod 100),
      niin
      7^2003 = 7^(4*500 3) = (7^4)^500*7^3 == 1^500*343 = 1*343 = 343 == 43 (mod 100).

      Viimeiset numero ovat siis 43.

    • taisittennäin

      Eräs tapa on käyttää kiinalaista jäännöslausetta. 7^2003=3 mod 4 ja 7^2003=18 mod 25, josta saadaan 7^2003=43 mod 100.

    • jotainapua

      Komngruenssit auttavat noihin. Kannattaa tutustua tässä mainittujen lisäksi myös Carmichaelin funktioon. Mulla auttoi kun vaan teki tehtäviä, esimerkiksi määritti luvun 5^(5^(5^(5^5))) viisi viimeistä numeroa.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hoitajalakko peruuntuu, tilalle joukkoirtisanoutumiset

      "Tehyn ja Superin hallitukset kokoontuivat tänään toteamaan, että tilanne edellyttää järeämpiä työtaistelutoimia." https://www.hs.fi/politiikka/art-2
      Maailman menoa
      739
      9297
    2. Johan tuli oikea aivopieru Britti Lordilta

      Emeritusprofessori Lordi Robert Skidelsky sanoi Suomen rikkovan YYA sopimusta joka on tehty Neuvostoliiton kanssaa 1948. Mitä pir
      Maailman menoa
      374
      8202
    3. Tehyn Rytkösellä tallessa tekstiviestit A-studiokohussa

      https://www.mtvuutiset.fi/artikkeli/a-studiosta-kohu-tehyn-rytkosen-mukaan-ministeri-linden-sai-paattaa-osallistujat-ohjelma-kiistaa-vaitteen/8407068
      Maailman menoa
      164
      6053
    4. William ja Sonja Aiello ERO

      Hyvä Sonja! Nyt etsit uudet kaverit ja jätät nuo huume- ja rahanpesu porukat haisemaan taaksesi!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      54
      2467
    5. Oho! Seurapiirikaunotar, ex-missi Sabina Särkkä yllättää tällä harvinaisella kyvyllä: "Mulla on..."

      Sabina Särkkä on nähty monissa tv-reality-sarjoissa. Mutta tiesitkö, että Särkällä on valokuvamuisti? https://www.suomi24.fi/viihde/oho-seurapiirikaun
      Kotimaiset julkkisjuorut
      6
      2167
    6. Se siitä sitten

      Kirjoitan tänne kun en sulle voi. En vaivaa sua enää koskaan. En ikinä tarkoittanut olla ahdistava tai takertuva. Tunteet heräsi enkä osannut olla tyy
      Ikävä
      82
      1799
    7. Ohhoh! Rita Niemi-Manninen otti ison tatuoinnin - Herätti somekansan: "Täydellinen paikka!"

      Rita Niemi-Mannisen suuri, uusi tatuointi on saanut somekansan heräämään talvihorroksesta. Niemi-Manninen otti tatskan rakkauslomalla Aki-miehensä kan
      Kotimaiset julkkisjuorut
      20
      1744
    8. Harvoin julkisuudessa nähty Jari Sillanpää, 56, julkaisi uusia kuvia - Karisti Suomen pölyt jaloista

      Huumekohun jälkeen matalaa profiilia pitänyt Jari "Siltsu" Sillanpää on ollut vaitonainen elämästään. Tänä keväänä miehen some on ollut hiljainen. Nyt
      Kotimaiset julkkisjuorut
      9
      1619
    9. Ihastumisesta kertominen

      Olen päättänyt kertoa tunteistani ihastukseni kohteelle. Erityisen vaikeaksi tilanteeni tekee se, että kyseessä on ns. kielletty rakkaus. Olen jo toi
      Ihastuminen
      92
      1525
    10. Taas Venäjän tiedoittaja akka Varoitti Suomea ja Ruotsia liittymästä Natoon

      Juuri sopivasti julkaistu varoitus, kun Suomen eduskunta alkaa klo 13:50 käsitellä asiaa suorassa TV 1:n lähetyksessä. ILtasanomat.
      Maailman menoa
      441
      1422
    Aihe