Opiskelen tällä hetkellä tasaista jatkuvuutta. Onko niin, että koko reaaliakselilla määriteltyinä seuraavat funktiot eivät ole tasaisesti jatkuvia?
- polynomifunktiot
- eksponenttifunktiot
- tangenttifunktio
- polynomifunktiot
- eksponenttifunktiot
- tangenttifunktio
Vastaukset 16
Vanhimmat
Kommentoinpa asiaa mistä en mitään tiedä mutta kuitenkin.
Monesti luennoitsijoilla on pieni vastenmielisyys havainnollistaa tai kansanomaistaa asiaa, vaikka siltäkin kannalta asiasta tietäisivätkin. (Samaan tapaan kuin hienossa ravintolassa missä pyttipannun nimi ei ole mielellään pyttipannu ;)
Mikä on se (käytännönkin) seikka, kun tuollainen käsite on aikanaan pitänyt keksiä tai määritellä? Jatkuva funktio äärellisellä välillä lienee myös tasaisesti jatkuva, ei siinä mittään. Ongelmallisia lienevät lähinnä matematiikan teorioissa äärettömyyspisteet sekä argumentin että funktion arvon osalta, esim 1/x nollassa kun funktion arvo 'katoaa' jonnekin. Samoin tangentti pii/2 -n*pii -kohdissa. Ongelmallisia ovat myös kiihtyvästi kasvavat funktiot (polynomi ym. 'progressiiviset') äärettömyydessä. Tai (teoriamielessä) loputtoman tihenevästi värähtelevät (oskilloivat) funktiot vaikkapa lähestyttäessä origopistettä.
Tällaisille esimerkeille on tuskallista repiä teoriassakin intergraalifunktio, vaikka toisaalta esim.jotkut sähköopin probleemit sellaisen eteen joskus johtaisivatkin. Siksi pitää lisärajauksin sulkea ulos alueita, jotka ovat reaalimaailmalle vieraampia: harvemmin laskettaneen konkreettisia arkipäivän juttuja äärettömyyksillä, vai?
Tarkentakaa tietäjät, jos tässä hieman epätieteellisessä pohdinnassa on jotain perin vääristynyttä, sitä odotellessa terv. maalaisjustus
vähän sama kuin eräät puhuu vaginasta ja suurin osa pillusta
Kun funktio on jatkuva pisteessä x0 se tarkoittaa sitä, että jos valitaan mikä tahansa positiivinen luku e niin on olemassa sellainen positiivinen luku d että
(1) l f(x) - f(x0) l < e kun l x - x0 l < d.
Ajatellaan nyt funktiota joka on jatkuva intervallilla X ja x0 kuuluu X:ään.Koska f on jatkuva x0:ssa niin on olemassa aina nuo luvut d ja e siten että (1) toteutuu. d riippuu luvusta e mutta myös siitä, missä intervallin X pisteessä x0 asiaa tarkastellaan.Jos otetaan tietty luku e niin luvulla d on eri arvo intervallin X eri pisteissä x0.
f(x) on tasaisesti jatkuva intervallilla X jos jokaiselle luvulle e > 0 löytyy sellainen luku d > 0 että olkoot x' ja x'' mitkä tahansa kaksi intervallin X pistettä niin
(2) lf(x'') - f(x') l < e toteutuu kaikissa intervallin pisteissä x' ja x'' joille pätee että
(3) l x'' - x' l < d.
Tässä siis d riippuu vain luvusta e mutta ei siitä missä pisteessä asiaa tarkastellaan.
Intervallilla X tasaisesti jatkuva funktio on myös jatkuva tuolla intervallilla (eli kaikissa intervallin pisteissä x0).
Cantorin teoreema sanoo, että jos funktio on jatkuva suljetulla intervallilla a <= x <= b niin se on myös tasaisesti jatkuva tällä suljetulla intervallilla.
Jos ajattelet jonkin funktion kuvaajaa niin mitä jyrkempi tuo kuvaaja on pisteen x0 ympäristössä niin sitä pienempi d pitää valita jotta tuo funktion heilahdus olisi pienempi kuin e.Mutta jos funktio on tasaisesti jatkuva niin kun e on valittu löytyy sama d joka pisteessä x0 joka kuuluu intervalliin X.
Jos f(x) olisi tasaisesti jatkuva koko x-akselilla olisi ehto (2) voimassa jokaiselle pisteparille x', x'' joka toteuttaa ehdon (3).
Mietipä nyt tuon valossa vastausta kysymykseesi noista funktioista.
Ohman
Polynomifunktioiden osalta sanoisin, että f(x) = kx b (k ≠ 0) on tasaisesti jatkuva.
Olkoon ε > 0. Valitaan δ = ε / |k|. Kaikilla x, y ∈ ℝ pätee seuraava:
Jos |x - y| < δ, niin |f(x) - f(y)| = |kx b - ky - b| = |k(x - y)| = |k|*|x - y| < |k|*δ = ε.
Sen sijaan toisen ja sitä korkeamman asteen polynomifunktiot eivät ole tasaisesti jatkuvia paitsi siinä tapauksessa, että niitä tarkastellaan vain jollakin suljetulla välillä. Menikö oikein?
Eskponenttifunktiot eivät myöskään ole tasaisesti jatkuvia. Valitaan ε = 1 ja näytetään, että ei voida löytää tilanteeseen sopivaa deltaa. Tätä en kuitenkaan osaa tarkasti näyttää. Saisinko jonkin vihjeen?
Tutkitaan funktiota e^x pisteessä x0. Valitaan epsilon > 0. le^x - e^x0l =
e^x0 * l e^(x/x0) - 1 l < epsilon kun l x - x0 l < delta missä delta on niin pieni, että
l e^(x/x0) - 1 l < epsilon / e^x0. Eri pisteissä x0 tarvitaan eri delta.
Ohman
Tuossa pitää tietenkin olla l e^x - e^x0 l = e^x0 * l e^(x - x0) - 1 l < epsilon kun
l x - x0 l < delta missä delta on niin pieni että l e^(x - x0) - 1 l < epsilon /e^x0.
Kumma kuinka "alitajunta" tai mikä se sitten lienee joskus putkauttaa esiin tällaisia huomioita vaikka en ajatellut yhtään koko tehtävää silloin kun tuon virheellisen laskutoimitusmerkin tieto jostain ilmestyi!
Ohman
Siis tuo tarkoittaa kai että eksponenttifunktio on tasaisesti jatkuva kun väli on suljettu niin että x0:lle voidaan antaa enimmäisarvo.
Juuri niin. Mainitsinhan jo tuon Cantorinteoreeman. Mutta e^x ei ole tasaisesti jatkuva koko x-akselilla.
Ohman
Olisi selvempi jos sovelletaan eksponenttifunktion sarjakehitelmää: l x-x0l < l e^(x - x0) - 1 l < epsilon /e^x0
Piti todistaa juuri toisin päin kuin mitä ehdotat.On näytettävä että jos l x - x0l < delta niin l e^x - e^x0 l < epsilon / e^x0.
Enkä nyt tiedä onko sarjakehitelmän käyttö tällaisissa jatkuvuustodistuksissa kovin selvää, eleganttia se ei ainakaan ole.
Mutta olet tainnut (nimimerkistäsikin päätelleen) aloittaa jonkinlaisen inttämisoperaation johon osallistuminen ei kiinnosta minua joten jatka ilman minua.
Ohman
Siis valitaan: delta = epsilon/e^x0. Silloin l e^x - e^x0 l < epsilon kun l x - x0l < delta edellä esitetyn nojalla.
Noinkohan, noinkohan?
Valitaan siis,kuten sanot, delta = epsilon / e^x(0). Jos siis l x - x0 l < delta = epsilon/e^x0 niin miten siitä seuraisi "edellä esitetyn nojalla" että le^x - e^x0 l < epsilon (kuten sanot).
Itse asiassa
l e^x - e^ x0) l = e^x0 * l e ^(x - x0) - 1 l <= e^x0 * l e^lx - x0l - 1l < e^x0 * l e^delta - 1 l = e^x0 * l e^(epsilon/e^x0) - 1l. Nyt tämän pitäisi olla pienempi kuin epsilon.Eli pitäisi olla l e^(epsilon/e^x0 - 1l < epsilon/e^x0.
Mutta jos nyt käytän ajatuksesi mukaisesti e^x:n sarjakehitelmää, on
e^(epsilon/e^x0) = 1 epsilon/e^x0 1/2! (epsilon/e^x0)^2 (3) joten
e^(epsilon/x0) - 1 ei ole pienempi kuin epsilon/e^x0. Huomattakoon, että delta = epsilon/e^x0 on positiivinen.
Vastasin nyt vielä kerran vaikka muuta lupasin.Et ilmeisestikään suostu myöntämään ajatusvirhettäsi vaan tuot taas uuden version jota minun pitäsi taas tutkia jne.
Ohman
Funktio ei ole jatkuva, jos sillä on epäjatkuvuuskohta
Funktio ei ole ei-jatkuva, jos sillä on jatkuvuuskohta.
Käytännössä funktion tasaisen jatkuvuuden voi helpoimmin tarkistaa toteamalla, onko sen derivaatta rajallinen koko tarkasteltavassa alueessa. Esim. funktio sin(1/x): derivaatta -cos(1/x)/x^2 ei ole rajallinen nollassa eikä funktio siis ole tasaisesti jatkuva.
On olemassa jatkuvia funktioita jotka eivät ole derivoituvia. Jopa sellaisia että niillä ei ole derivaattaa missään pisteessä. Silloin tuollainen derivaatan avulla tarkastelu ei onnistu.
"Käytännösä", jos siis kyse on funktioista joilla on derivaatta, konstisi tietysti on ok.
Ohman