Määritä funktion f(x)=x*(ln(x))^2-x*ln x^2 ääriarvokohdat
Matikasta kiinnostuneilla
nkdoeje
12181
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
f(x) = x(ln x)^2 - x ln (x^2) = x (ln x)^2 -2x ln x.
f ' (x) = (ln x)^2 x * 2 ln x * (1/x) - 2 ln x -2x * (1/x) =
(ln x)^2 - 2 joten kun f'(x) = 0 on ln x = /- sqrt(2) ja siis x = e^( /- sqrt(2).
f ''(x) = 2 ln x * (1/x)
Jatkahan tästä päätelmiä ääriarvokohdista.
Ohman
minimikohta on ilmeisesti ~4,11 ja maksimia ei ole?
Eiköhän se maksimikohtakin löydy. Kulku näkyy paremmin kun kirjoitetaan muotoon
f(x) = x*lnx*(lnx-2)
Lähtee kasvamaan nollasta, maksimin kohdassa x=1/e^sqrt2, nollakohta x=1, minimikohta x=e^sqrt2, nollakohta x=e^2
Se derivaatta pitää muuttaa tulomuotoon, eli f´(x)= (lnx sqrt2)(lnx-sqrt2) ja sitten tutkia tämän merkkiä lukusuoralla. Sillä kohtaa kun derivaatan merkki vaihtuu plussasta miinukseksi on maksimi ja sillä kohtaa kun derivaatan merkki vaihtuu miinuksesta plussaksi on minimi. Sen jälkeen lasketaan funktion arvo näissä pisteissä. Sitten vielä lasketaan funktion arvot määrittelyalueen rajoilla , eli kun x lähenee nollaa ja x lähenee ääretöntä. Näistä arvoista sitten päätellään globaalit ja lokaalit ääriarvot..
jatkuuko se kuvaaja nousevana vielä tuon toisen ( e^sqrt2) jälkeenkin?
Kyllä, koska derivaatta on sen jälkeen. Ja näkyy helposti myös tulomuotoisesta kaavasta. Raja-arvo nollassa on kinkkisempi.
eli onko funktiolla maksimikohta?
Funktio on määritelty kun x > 0.
f ''(e^sqrt(2)) = 2 sqrt(2)* e^(-sqrt(2)) > 0 eli f:llä on minimi pisteessä x = e^sqrt(2) f'' (e^(- sqrt(2)) = 2 (- sqrt(2)) * e^sqrt(2)) < 0 eli f:llä on maksimi pisteessä x = e^(- sqrt(2))
Kun x -> inf niin f(x) -> inf joten tuo maksimi on lokaali.
f(e^(sqrt(2)) = e^( sqrt(2)) * sqrt(2) * ( sqrt(2) - 2)< 0.
Jätänpä arvoisten lukijoiden pohdittavaksi onko tässä kyseessä lokaali vai globaali minimi. Saako f jossain tätä piempiä arvoja?Miten käy kun x -> 0?
Ohman
Funktiolla on nollakohta pisteessä x = 1 mutta sillä ei ole nollakohtia välillä 0 < x < 1. Näin ollen se ei voi mennä tällä välillä negatiiviseksi koska sillä on lokaali maksimi pisteessä e^(-sqrt(2)) < 1 ja tässä pisteessä f > 0. Tämän pisteen jälkeen f pienenee kun x pienenee.Mitään minimiä ei ole välillä 0 < x < e^(-sqrt(2)) joten funktion pieneneminen jatkuu kun x pienenee mutta f ei siis voi tulla negatiiviseksi kun 0
Tuo minimi pisteessä e^(sqrt(2)) on siis globaali minimi.
Vaikka itse asia noista ääriarvoista on nyt selvä niin jätänpä lukijoille kuitenkin tehtäväksi todistaa että f(x) -> 0 kun x -> 0. Vai meneekö?
Ohman
No minä todistan.
e^x = 1 x/1! x^2/2! x^3/3! .... Tämä sarja siis suppenee sen summa on e^x.
Tästä nähdään että kun x > 0 niin kaikki sarjan termit ovat positiivisia ja sarjan summa on siis suurempi kuin jokainen sen termi eli esim. e^x > x^(n 1)/(n 1)! joten e^x/x^n > x/(n 1)! -> inf kun x -> inf. Tästä seuraa, että käänteisluku
(1) x^n/e^x -> 0 kun x -> inf.
Olkoon nyt n > = 1 ja tutkitaan nyt lauseketta x (ln x)^n kun x -> 0.
Tällöin ln x -> -inf.
Kirjoitetaan ln x = - y jolloin siis x = e^(- y) ja
l x (ln x)^n l = e^(- y) y^n = y^n / e^y.
Kun x -> 0 niin y -> inf ja yhtälön (1) perusteella siis y^n / e^y -> 0 joten
lim(x -> 0) x (ln x)^n = 0
Tämä pätee oli n kuinka suuri hyvänsä.
Meillä oli funktio
f(x) = x (ln x)^2 - 2 x ln x.
Tämän summan molemmat termit menevät edellä sanotun perusteella nollaan kun x -> 0 joten lim (x -> 0) f(x) = 0.
Tuossa edellä (ja muissakin kirjoituksissani) tuo inf on se "ääretön".
Ohman
Minkähän asteen tehtävlä tämä oikein oli. Minä en saa tästä ainakaan irti yhtään enempää, paitti jos ei nyt sitten todeta, että funktion arvo menee äärettömiin kun x kasvaa.( Hospitaalia ei välttämättä tarvita, sotkin kuitenkin lisäksi sitäkin.)
http://aijaa.com/tfn3h5
kuulostaa kuin olisin palannut 12v sitten porthanian saliin kuuntelemaan oikkosta...