Valkoiseen yksikköneliöön sijoitetetaan satunnaisiin tasan jakautuneisiin paikkoihin ääretön määrä mustia ympyröitä Yn, n=1,2,3,4....., nämä siis saattavat peittää toisiaan osin tai kokonaan. Ympyrän Y1 säde on r(1) ja ympyrän Yn säde r(n) = r(1)/SQRT(n).
A) Peitttyykö neliö aina täysin, eli siis maalautuuko sen jokainen piste mustaksi?
B) Jollei, niin mikä on pienin r(1):n arvo, jolla neliö todennäköisesti peittyy täysin?
A) Peitttyykö neliö aina täysin, eli siis maalautuuko sen jokainen piste mustaksi?
B) Jollei, niin mikä on pienin r(1):n arvo, jolla neliö todennäköisesti peittyy täysin?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Alustavia tarkasteluja. Ympyröiden pinta-alojen summa on
PII * r(1)^2 (1 1/2 1/3 ..), joka lähenee ääretöntä. Periaatteessa siis on mahdollista, että alue peittyy kokonaan.
Lisää alkeellista ajattelua: Oletetaan, että askeleen n jälkeen osa a(n) neliöstä on peitossa.
Silloin Pr(a(n 1) = a(n) ) = a(n)
Pr(a(n 1) = a(n) PII * r(1)^2 / (n 1)) = 1 - a(n), jos jätetään kiusalliset osumat mustan alueen reunalle pois.
Mahtaisiko tästä saada jotain arvioita? Reunaosumiset ovat ilmaisen hankalia, koska ajan kuluessa reunasta tulee aika kaaottinen härveli.
Samantapaisista probleemoista saa viitteitä googlaamalla "theory of random clumping" , "coverage problems" tai esimerkiksi
https://e-reports-ext.llnl.gov/pdf/354298.pdf
Voihan tuo neliö peittyä. Voi se olla peittymättäkin.
Todennäköisyys sille, että ääretön määrä lappuja ei peitä neliötä, on nolla, mutta tuo ei tee mahdottomaksi sitä, että jokin piste jää peittämättä.
"Todennäköisyys sille, että ääretön määrä lappuja ei peitä neliötä, on nolla"
Todista tämä väittämä. Kuten Klumppi yllä totesi, lappujen yhteenlaskettu pinta-ala kasvaa äärettömiin, mutta se ei ole sama kuin lappujen peittämä pinta-ala. Mitä suurempi osa alueesta on peitossa, sitä pienempi osa seuraavasta lapusta lisää peittoa.
Tämä on hauska tehtävä, mutten halua viedä muilta ratkaisemisen iloa. Vihjaan kuitenkin, että pääsin eteenpäin tarkastelemalla peiton a(n) keskimääräistä kasvua a'(n) = a(n 1)-a(n).
Siis tuosta tulee differentiaaliyhtälö
Käytän tässä xy-tasoa, niin merkinnät ovat tutumpia. y-akselilla estimoitu kokonaispeitto y(x) x:n ympyrän jälkeen, ja tarkastellaan y(x) arvoja x:n kasvaessa.
Tämä on asymptoottinen tarkastelu, jossa ympyrät lasketaan kokonaisina vaikka osa vuotaisikin neliön ulkopuolelle.
Kun y(x) osa neliöstä on peitossa, seuraavan ympyrän alasta a(x 1) = PII*r(1)^2/(x 1) keskimäärin vain (1-y(x)) -osa kasvattaa peittoa. Merkitään vielä vakio c=PII*r(1)^2. Tällöin peiton kasvua kuvaa yhtälö
y'(x) = (1-y(x)) * c/(x 1)
Tässä siis ratkaisun antava differentiaaliyhtälö reunaehdolla y(1) = c.