Pii = 4???

Trollifysiikasta olen kuullut ja nähnyt esimerkkejäkin, mutta tämä on ensimmäinen havaintoni matematiikkatrollista (jos ei sitä loputonta suklaalevyä lasketa mukaan).

Ensimmäinen osio on siis aprillipila ja loppuosa trollausta.

Valaisen asiaa vähän yksinkertaisemmalla esimerkillä.

Piirrä neliö jonka sivu on 1 ja siihen lävistäjä jonka pituus on tietenkin sqrt(2).Kärjet (0,0), (0,1), (1,1) ja (0,1).

Korvaa nyt tuo lävistäjä murtoviivalla, joka kulkee neliön sivua myöten ylöspäin välin (0,0) - (0,1/2), sitten pisteestä (0,1/2) pisteeseen (1/2,1/2), edelleen tästä pisteestä pisteeseen (1/2,1) ja edelleen tästä neliön yläsivua myöten pisteeseen (1,1). Tämän pituus on 2.

Jatka konsruktiota samaan tapaan kulkemalla nyt vuoronperään ylöspäin matkan 1/4 ja oikealle samoin matkan 1/4. Kun tämä murtoviiva päättyy pisteeseen (1,1) sen pituus on edelleen 2, sillä kaikkien vaakasuorien osien pituuksien summa on 1 ja samoin pystysuorien.

Konstruktiota voidaan nyt jatkaa vaikka kuinka kauan ja aina saadaan murtoviiva jonka pituus on 2. Nyt voisi ajatella, että tämän murtoviivan raja-arvo on tuo lävistäjä. Tällöin lävistäjän pituus olisikin 2 eikä sqrt(2).

Mutta tuo konstruktio jakaa lävistäjän pätkiin joiden pituus (1/2)^n * sqrt(2) jos jako on tehty n kertaa.Pätkiä on 2^n kappaletta ja niiden pituuksien summa on lävistäjän pituus eli
2^n *(1/2)^n* sqrt(2)= sqrt(2).

Murtoviivan pituus ei lähesty lävistäjän pituutta!

Samoin tuossa ympyräesimerkissä murtoviivan pituuden raja-arvona ei ole ympyrän kehän pituus!

Sori etten osannut piirtää kuvaa.

Ohman

Eikös tuossa ole kyse samasta jutusta kuin Zenonin paradpkseissa?