Pisteen(1,2) kulkee käyrä y=f(x), jonka mielivaltaiseen pisteeseen (x,f(x)) piirretty normaali leikkaa x-akselin pisteessä (x/3 , 0). Määritä käyrän yhtälö.
Vanha yo-tehtävä
exabina
30
334
Vastaukset
- NiinTaiNäinTaiToisinPäin
Taitaa tulla ellipsi: y*y' = -2*x/3
- exabina
Siis pyydettiin käyrän yhtälöä y=f(x), joka kulkee pisteen (1,2) kautta. Ratkaistussa muodossa.
- NiinTaiNäinTaiToisinPäin
Kyllä sun pitäisi tuon välikaavan avulla pystyä itsekin ratkomaan.
- difflex
3yy'=-2x => y = SQRT(2/3*(7-x^2)) ?
- Ellipsimuoto
Tai muodossa 2*x^2 3*y^2 = 14
- aeija
Tuo juuri on nimenomaan oikea vastaus
- NiinTaiNäinTaiToisinPäin
Tuo tehtävänasettelu on vähän epämääräinen, koska siinä puhutaan ensijaisesti käyrästä, eikä funktiosta. Funktio olisi kaksikäsitteinen ja vain x-akselin yläpuolinen osa siitä kelpaisi vastaukseksi ( neliöjuuri). Mutta kun puhutaan käyrästä, voisi tulkita myös koko ellipsiksi, sillä normaaliehto pätee myös alapuoliselle osalle.
- diffkex
"Pisteen(1,2) kulkee käyrä y=f(x)"
Eikö tämä indikoi, että että käyrä on esitettävissä funktion kuvaajana? - aeija
Minulla on se käsitys, että käyrä on ellipsin yläpuoleinen osa, joka on päistä avoin, eli lähestyy päistä pisteitä(sqrt7,0) ja(-sqrt7,0). Noissa pisteissä ei voi sellaista normaalia asettaa kuin tässä pyydetään, joten sen pisteen (2,1) vuoksi yläpuolinen osa ellipsistä.
- aeija
aeija kirjoitti:
Minulla on se käsitys, että käyrä on ellipsin yläpuoleinen osa, joka on päistä avoin, eli lähestyy päistä pisteitä(sqrt7,0) ja(-sqrt7,0). Noissa pisteissä ei voi sellaista normaalia asettaa kuin tässä pyydetään, joten sen pisteen (2,1) vuoksi yläpuolinen osa ellipsistä.
pisteen (1,2) vuoksi
- NiinTaiNäinVaiToisinPäin
No otetaan toinen samantyyppinen tehtävä: Millä käyrällä on vakioetäisyys origosta ja se kulkee pisteen (1,1) kautta. Onko se x-akselin yläpuolinen osa ympyrästä, jonka kp on origossa ja säde sqrt2?
- difflex
NiinTaiNäinVaiToisinPäin kirjoitti:
No otetaan toinen samantyyppinen tehtävä: Millä käyrällä on vakioetäisyys origosta ja se kulkee pisteen (1,1) kautta. Onko se x-akselin yläpuolinen osa ympyrästä, jonka kp on origossa ja säde sqrt2?
Tässä samantyyppisessä ei edellytetä käyrää funktion kuvaajaksi, joten täysi ympyrä kelpaa.
- NiinTaiNäinVaiToisinPäin
Avausviestissä puhutaan käyrästä ja käyrän yhtälöstä. Entä jos olisi kysytty: "Määritä käyrän yhtälö", kuten avausviestissä?
Hieman epäilen onko yo-tehtävä formuloitu noin epämääräisesti. - aeija
NiinTaiNäinVaiToisinPäin kirjoitti:
Avausviestissä puhutaan käyrästä ja käyrän yhtälöstä. Entä jos olisi kysytty: "Määritä käyrän yhtälö", kuten avausviestissä?
Hieman epäilen onko yo-tehtävä formuloitu noin epämääräisesti.http://materiaalit.internetix.fi/fi/opintojaksot/yo/pitkamatematiikka/k94ma
tehtävä 10, siinä se - aeija
aeija kirjoitti:
pisteen (1,2) vuoksi
Minusta tässä on nyt tehtävä poliittinen päätös leikkaako x-akseli x-akselin kohdassa x/3 vai ei. Siitähän on kysymys, koska ellipsille pisteeseen
( sqrt7, 0) piirretty normaali on x-akseli.
Jos x-akseli leikkaa x-akselin kohdssa x/3, niin silloin koko ellipsi käy, muuten ellipsi katkeaa sillä kohdalla.
Jos x-akseli ei leikkaa x-akselia kohdassa x/3, niin käyrä on ellipsin yläpuoleinen kaari.
(Minusta ei oikein vaikuta siltä, että x-akseli leikkaisi x-akselin missään kohdassa.
Minähän tämän tehtävän laitoin tänne alunpitäen, koska halusin saada juuri tästä mielipiteitä, mutta ei se ketään innostanut) - NiinTaiNäinTaiToisinPäin
Itse olisin muotoillut esim. seuraavasti: Määritä funktio f(x) jolle pätee: a) f(1)=2 ja b) funktion kuvaajan mielivaltaiseen pisteeseen (x,f(x)) piirretty normaali leikkaa x-akselin pisteessä (x/3 , 0). Silloin ei olisi ollut tulkinnanvarainen.
- NiinTaiNäinTaiToisinPäin
aeija kirjoitti:
Minusta tässä on nyt tehtävä poliittinen päätös leikkaako x-akseli x-akselin kohdassa x/3 vai ei. Siitähän on kysymys, koska ellipsille pisteeseen
( sqrt7, 0) piirretty normaali on x-akseli.
Jos x-akseli leikkaa x-akselin kohdssa x/3, niin silloin koko ellipsi käy, muuten ellipsi katkeaa sillä kohdalla.
Jos x-akseli ei leikkaa x-akselia kohdassa x/3, niin käyrä on ellipsin yläpuoleinen kaari.
(Minusta ei oikein vaikuta siltä, että x-akseli leikkaisi x-akselin missään kohdassa.
Minähän tämän tehtävän laitoin tänne alunpitäen, koska halusin saada juuri tästä mielipiteitä, mutta ei se ketään innostanut)Kuvittelisin että leikkaavilla suorilla on vain yksi yhteinen piste joten siten kyseessä ei ole leikkaamisesta. Toisaalta normaali kulkee (myös) tuon pisteen (x/3, 0) kautta.
Mutta sitten on tuo kysymys mitä tarkoitetaan käyrällä ja sitä vastaavalla yhtälöllä. Tekeekö "epäjatkuvuus" sen että kyseessä on kaksi eri käyrää, tässä tapauksessa kaksi ellipsin puoliskoa. Entä jos kysytään vaikkapa yhtälöä käyrälle joka on lnx derivaatta ja kulkee pisteen (1,1) kautta, kelpaako vain 1/x kun x>0?
Kyseessä oli viimeinen tehtävä, ehkä siinä edellytettiin monipuolista tarkastelua.
- aeija
Tuo on varmaankin helpoin ratkaista kulmakertoimilla, mutta ratkaisin sen myös lähtien käyrän parametriesityksestä: x=a*cos(t), y=b*sin(t).
Kuinkas se menee ?- Ohman
aeija kirjoitti:
noin kai se menee: http://aijaa.com/wbtLnx
Sinä kirjoitat aluksi
x = a cos(t) ja y = b sin(t).
Nyt x^2/a^2 y^2/b^2 = 1 eli sinä olet jo päättänyt, että kyseessä on ellipsi, jonka akselien puolikkaat ovat a ja b.Mutta eihän tätä vielä tiedetä.
Eikö pitäisi kirjoittaa x(t) = r(t) cos(t) ja y(t) = r(t) sin(t) ?
Vai enkö ymmärtänyt tarkoitustasi? - aeija
Pitää paikkansa, että käyrä tiedettiin tuossa vaiheessa ellipsin kaareksi, kyse oli vain siitä että minkä ellipsin kaari.
Tässä voidaan kyllä arvatakin käyrän olevan ehkä ellipsi koska sanotaan, että käyrän mielivaltaiseen pisteeseen asetetaan normaali, joka leikkaa x-akselin, ja lähteä sillä yritteellä. Ei se mitenkään väärin olisi, mutta tässä siis tiedettiin se ellipsin kaareksi, avoimessa välissä. Ellipsihän se ei siis ole. - Ohman
aeija kirjoitti:
Pitää paikkansa, että käyrä tiedettiin tuossa vaiheessa ellipsin kaareksi, kyse oli vain siitä että minkä ellipsin kaari.
Tässä voidaan kyllä arvatakin käyrän olevan ehkä ellipsi koska sanotaan, että käyrän mielivaltaiseen pisteeseen asetetaan normaali, joka leikkaa x-akselin, ja lähteä sillä yritteellä. Ei se mitenkään väärin olisi, mutta tässä siis tiedettiin se ellipsin kaareksi, avoimessa välissä. Ellipsihän se ei siis ole.Ok. Ymmärsin väärin. Luulin, että ratkaisit tehtävää tuolla tavalla.
Ohman
- diffklex
>"Hieman epäilen onko yo-tehtävä formuloitu noin epämääräisesti."
Vaativimmissa tehtävissä saattaa olla näitä pikku ansoja sille viimaiselle pisteelle. En tiedä miten tämä on kokeissa arvosteltu. Täydellinen ratkaisu vaatii implisiittisten oletusten toteamista. Tässä siis jotenkin, että: Olettaen, että tehtävänannossa kohdassa "Pisteen(1,2) kulkee käyrä y=f(x)" f(x) viittaa funktioon, käyrä on esitettävissä funktion R->R kuvaajana, jolloin ellipsin alaosa ei kelpaa.
Näin perustellen pisteitä ei ainakaan voi vähentää, mutta perustelun pois jättämisestä voidaan sakottaa.- aeija
Malliratkaisussa(tilasin kirjastosta) tämä on klaarattu näin:
Oletetaan, että käyrä y=f(x) toteuttaa annetut ehdot. Silloin funktio f välttämättä toteuttaa seuraavat ehdot:
1. f on derivoituva eräällä avoimella välillä, joka sisältää pisteen x=1
2. f(1)=2
3. jokaisella välillä vektori (2/3xi f(x)j)▪(i f`(x)j)=0, josta tulee
f(x)^2=-2/3x^2 14/3, josta on 2. ehdon perustella valittava positiivinen juuri.
Sitten todetaan, että lauseke f(x)= sqrt(-2/3x^2 14/3) välillä ]-sqrt7,sqrt7[
määrittelee ehdot 1.-3. Käyrä y=f(x) toteuttaa silloin tehtävän ehdot.
Tuo derivoituvuus tuntuu tässä olevan tärkeä , vaikka se täytyykin lukea vähän rivien välistä. Pitää siis olla derivoituva kun kerran laskussa derivaattaa käytetään, joten on oltava avoin väli. Samoin on käytettävä pistetuloa, eikä normaalin kulmakerrointa, koska siinäkin voi tulla, ja tuleekin normaali, jolla ei ole kulmakerrointa jossakin pisteessä.
Tuo i f`(x)j on käyrän y=f(x) tangenttivektori, joka saadaan derivoimalla vektori käyrälle, joka vektori on r=xi f(x)j
(Pistetulosta tulee: 2/3x f(x)*f`(x)=0=>2*f(x)*f`(x)=-4/3x, josta integroimalla:
f(x)^2=-2/3x^2 C, ja f(1)=2 =>C=14/3)
- aeija
Tällä näppäimistöllä tai koneella jää aina bittiavauuteen pois näitä merkkejä, tuostakin plussat:
Malliratkaisussa(tilasin kirjastosta) tämä on klaarattu näin:
Oletetaan, että käyrä y=f(x) toteuttaa annetut ehdot. Silloin funktio f välttämättä toteuttaa seuraavat ehdot:
1. f on derivoituva eräällä avoimella välillä, joka sisältää pisteen x=1
2. f(1)=2
3. jokaisella välillä vektori (2/3xi f(x)j)▪(i f`(x)j)=0, josta tulee
f(x)^2=-2/3x^2 14/3, josta on 2. ehdon perustella valittava positiivinen juuri.
Sitten todetaan, että lauseke f(x)= sqrt(-2/3x^2 14/3) välillä ]-sqrt7,sqrt7[
määrittelee ehdot 1.-3. Käyrä y=f(x) toteuttaa silloin tehtävän ehdot.
Tuo derivoituvuus tuntuu tässä olevan tärkeä , vaikka se täytyykin lukea vähän rivien välistä. Pitää siis olla derivoituva kun kerran laskussa derivaattaa käytetään, joten on oltava avoin väli. Samoin on käytettävä pistetuloa, eikä normaalin kulmakerrointa, koska siinäkin voi tulla, ja tuleekin normaali, jolla ei ole kulmakerrointa jossakin pisteessä.
Tuo i f`(x)j on käyrän y=f(x) tangenttivektori, joka saadaan derivoimalla vektori käyrälle, joka vektori on r=xi f(x)j
(Pistetulosta tulee: 2/3x f(x)*f`(x)=0=>2*f(x)*f`(x)=-4/3x, josta integroimalla:
f(x)^2=-2/3x^2 C, ja f(1)=2 =>C=14/3)
onnistuukohan nytkään, siis kaikki merkit hukku ...- aeija
ei voi mitään, plus merkit ei vaan näy, täytyy lopettaa tällä vehkeellä. Joku voisi ehkä ne lisätä ja tehdä tämän uusiksi, niin jäisi jälkipolville oikein
- aeija
Voinhan sen itsekin laittaa, tästä ei tosin kukaan saa selvää ja tämä' sotkukin häipyy jonkin ajan päästä http://aijaa.com/pyNujO
- Ohman
Käyrän yhtälö,parametrinä x,on R(x) = x i f(x) j. Sen eräs tangenttivektori on
R'(x) = i f'(x) j ja täytyy olla ( (R(x) - x/3 i),(i f'(x) j)) = 0 josta saadaan
((2/3 x i f(x) j), (i f'(x) j)) = 0 ja lopulta 2/3 x f(x) f'(x) = 0.
Siis d/dx(1/2 (f(x))^2) = - d/dx(x^2/3) ja
f(x)^2 = - 2x^2/3 C ja koska f(1) = 2 on C = 4 2/3 = 14/3.
Tässä voi nyt sitten viisastella mikä tuo käyrä on. Ellipsin yhtälö siitä kuitenkin tulee.
x^2/(sqrt(7))^2 y^2/(sqrt(14/3))^2 = 1.
Tämä kulkee annetun pisteen kautta ja sen normaali täyttää annetun ehdon paitsi pisteissä (- sqrt(7) , 0) ja (sqrt(7),0). Mutta huomattakoon että kun otetaan tuon leikkauspisteen ja käyrän pisteen välisen janan projektiox-akselille niin sen pituus lähenee arvoa 2/3 sqrt(7) kun x lähenee näitä pisteitä eli tässä mielessä "leikkauspiste" on olemassa."Leikkauspisteen" x-koordinaatti lähenee arvoja /- sqrt(7)/3.
Ohman - Ohman
Jättipä minunkin jutustani plus-merkit pois. Voihan saatana!
Käyrä on siis x i plus f(x) j ja tangentti i plus f'(x) j. JNE.
Ja popussa "lähenee arvoja plus/miinus sqrt(7)/3.
Ohman- Ohman
Eipäs kun "lopussa ...".
Ohman
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Naiset miltä kiihottuminen teissä tuntuu
Kun miehellä tulee seisokki ja ja sellainen kihmelöinti sinne niin mitä naisessa köy? :)906286Haistoin ensin tuoksusi
Käännyin katsomaan oletko se todellakin sinä , otin askeleen taakse ja jähmetyin. Moikattiin naamat peruslukemilla. Tu252594- 302130
- 631837
- 121641
Miksi kohtelit minua kuin tyhmää koiraa?
Rakastin sinua mutta kohtelit huonosti. Tuntuu ala-arvoiselta. Miksi kuvittelin että joku kohtelisi minua reilusti. Hais51428- 91347
Kyllä poisto toimii
Esitin illan suussa kysymyksen, joka koska palstalla riehuvaa häirikköä ja tiedustelin, eikö sitä saa julistettua pannaa141341"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu"..
"Joka miekkaan tarttuu, se siihen hukkuu".. Näin puhui jo aikoinaan Jeesus, kun yksi hänen opetuslapsistaan löi miekalla71269- 141223