Miten osoittaa, että x y z>(xy)^2 (yz)^2 (zx)^2, kun x, y ja z ovat positiivisia lukuja, joille x y z=3?
Epäyhtälö_
Epäyhtälöhukassa
14179
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 2 sääntöjenvastaista viestiä.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Ei mitenkään.
Olkoon x = 3/2, y = 2/2 ja z = 1/2. x y x = 6/2 = 3.
(xy)^2 (yz)^2 (zx)^2 = (3/2 * 1)^2 (1* 1/2)^2 (1/2 * 3/2)^2 = 9/4 1/4 9/4 = 19/4 = 4.75. Eikä ole 3 > 4.75.
Ohman
Tulipa taas kirjoitusvirhe, p.o. 2. rivillä x y z = 6(2 = 3.
Ohman
No ei mene merkit oikein, p.o. 6/2 eikä 6(2.
Ohman
Tässä vielä yksi korjaus lisää :)
p.o.
(xy)^2 (yz)^2 (zx)^2 = (3/2 * 1)^2 (1* 1/2)^2 (1/2 * 3/2)^2 = 36/16 4/16 9/16 = 49/16=3.0625. Eikä ole 3>3.0625.
En tiedä mitä tarkoitat. Esimerkkisihän on laskettu väärin. P.o.
36/16 4/16 36/16 = 76/16 = 19/4 = 4.75.
Minun laskuni oli oikein.
Ohman
Sori, sekoilion. On tietenkin
9/4 1/4 9/16 = 49/16 = 3.0625 juuri kuten ValeOhman sanoi.Mutta epäyhtälö siis ei pidä paikkaansa.
Ohman
Oho, anteeksi. Kysymykseeni lipsahti virhe. Haluaisin tietää siis, miten sama epäyhtälö todistetaan, kun ehtona on, että x^2 y^2 z^2=3, eikä siis x y z=3.
Vielä varmuuden vuoksi: mikä se sinun epäyhtälösi nyt lopulta ja lopultakin ihan oikein sanottuna on?Ei kai kukaan viitsi ruveta ratkomaan jos et vaivaudu edes antamaan tehtävää oikein.
Tehtävänantona on ja piti alun perinkin olla osoittaa, että x y z>=(xy)^2 (yz)^2 (zx)^2, kun x, y ja z ovat positiivisia lukuja, joille x^2 y^2 z^2=3. Aloitusviestistä siis puuttuivat nuo toiset potenssit. Anteeksi vielä ylimääräisestä sekamelskasta.
No ratkaistaan sitten.
3(x^2 y^2 z^2) = (x^2 y^2 z^2)^2 (tuon annetun ehdon mukaan) =
x^4 y^4 z^4 2(x^2 y^2 y^2 z^2 z^2 x^2) joten
x^2 y^2 y^2 z^2 z^2 x^2 = 1/2 ( 3 x^2 - x^4 3 y^2 - y^4 3 z^2 - z^4). Siis
x y z - (x^2 y^2 y^2 z^2 z^2 x^2) = x y z 1/2 ( x^4 - 3 x^2 y^4 - 3 y^2 z^4 - 3 z^2) = 1/2 ( (x^4 - 3 x^2 2 x ) (y^4 - 3 y^2 2 y) (z^4 - 3 z^2 2 z)) = 1/2 (x (x-1)^2 (x 2) y (y-1)^2 (y 2) z (z-1)^2 (z 2)) >= 0 sillä kaikki termit ovat positiivisia, Siis x y z >= (xy)^2 (yz)^2 (zx)^2.
MOT
Ohman
Kiitos ratkaisusta Ohman. Olin ihmetellyt tätä jo jonkin aikaa.
Täsmällisyyden vuoksi:tuossa lopussa p.o. "kaikki termit ovat ei-negatiivisia". Luvut x,y ja z olivat positiivisia mutta lausekkeen termeissä x -1 tai y-1 tai z - 1 voi olla nolla.Itse todistus merkintöineen on kyllä oikein.
Ohman
Tuolle f(x,y,z) =x y z-(xy)^2-(xz)^2-(yz)^2 saattaa löytää minimikohdan ja minimin Lagrangen menetelmällä, mutta se kärjistyy yhtälöpariin:
(1/x)-2y^2=(1/y)-2x^2
(1/x)-2z^2=(1/z)-2x^2
x,y,z ovat positiivisia > 0.
Ja tuolle pitää nyt sitten vaan uskoa ainoaksi ratkaisuksi x=y=z, ja x=y=z=1 tuon ehdon x^2 y^2 z^2=3 perusteella.
Tuossa kohdassa on siis ääriarvo f(1,1,1)=0, ja se on minimi, koska esim. f(1,½, sqrt(7)/2) on suurempi kuin 0 (noin 0,5) ja f(0,0,sqrt(3))=sqrt3
Kolme todistusta on esitetty osoitteessa http://math.stackexchange.com/questions/336362/prove-sqrta-sqrtb-sqrtc-ge-ab-bc-ca