Voisít selvittää itse etkä luntata muilta ihmisiltä.
0Äänestä
Palkki
Kysyin tätä, koska en osannut, enkä ymmärrä, miten tiedohaku liittyy lunttaukseen. Arvelin, ettei ole olemassa muita ratkaisuja, kuin yllä mainitut triviaaliratkaisut, mutten juuri tätä osaa todistaa.
0Äänestä
Ohman
(1) f(x)^2 f '(x)^2 = 1 => 2 f(x) f '(x) 2 f '(x) f ''(x) = 0 ja siis f '(x) = 0 tai f ''(x) = - f(x).
Jos f '(x) = 0 niin f(x) = c mutta täytyy olla c = / - 1 jotta yhtälö (1) toteutuu.Eräs ratkaisu on siis f(x) = /- 1.
Jos f ''(x) = - f(x) saadaan yhtälöryhmä
dy/dx = z , dz/dx = - y ja tästä dz/dy = - y/z
Jos dz/dy =- y/z niin z dz/dy =- y ja d/dy( 1/2 z^2) =- y josta 1/2 z^2 = - 1/2 y^2 C' josta z^2 =- y^2 C ( C' ja C vakioita).
Edelleen z = /- sqrt(- y^2 C) ja koska oli dy/dx = z saadaan
(2) Integraali ( dy/sqrt(- y^2 C) = /- x D .
Nyt sin(arcsin(y)) = y joten d/dy(arcsin(y) = 1/cos(arcsin(y)) =
1/sqrt(1 - sin^2(arcsin(y)) = 1/sqrt(1-y^2)
Samoin d/dy(arccos(y)) = - 1/sqrt(1 - y^2)
Tekemällä yhtälön (2) vasemmalle puolelle sopivan muuttujanvaihdon saat sen noitten derivaattalausekkeiden avulla integroitua ja lopputulos seuraa sitten. Teepä tämä loppu itse.
Muita ratkaisuja kuin näin saatavat ei ole.
Ohman
0Äänestä
navettamies
Melkein kyllä sijoittaisin alkuperäiseen tämän saadun: Edelleen z = /- sqrt(- y^2 C) ja koska oli dy/dx = z. Siitä nimittäin välittömästi seuraa. C=1 Jos tuota C:tä roikottaa mukana, niin hyvin hankalaksi menee, en viitsi edes kokeilla. Tästähän on helppo jatko: /- dy/sqrt(1- y^2 ) =dx
tapaus: asiny=x D=> y=sin(x D) tapaus voidaan myös kertoa puolittain -1:llä=> acosy=-x D=> y=cos(D-x)
-tapauksesta vastaavasti : y=cos(x D), tai y=sin (D-x)
Tuossa alussa ratkaisisin suoraan: dy/dx= -sqrt(1-y^2)
0Äänestä
navettamies
Myönnän kyllä, että se triviaaliratkaisu y= -1 ei tuosta löydy. Se on älyttävä vaan muuten...
0Äänestä
navettamies
navettamies kirjoitti:
Myönnän kyllä, että se triviaaliratkaisu y= -1 ei tuosta löydy. Se on älyttävä vaan muuten...
Perhana, siitähän puuttuu ne miinus etumerkkiset ratkaisut. Mistähä nekin saisi? Täytyy funtsata yön yli, tai sitten antaa olla...
0Äänestä
navettamies
navettamies kirjoitti:
Perhana, siitähän puuttuu ne miinus etumerkkiset ratkaisut. Mistähä nekin saisi? Täytyy funtsata yön yli, tai sitten antaa olla...
Joo, en kyllä keksi muuta kuin lopuksi tarkistaa yritteillä y =Asin(Bx C) , ja y=Acos(Bx C). (Ei olisi pitänyt koskea tähän ollenkaan.)
0Äänestä
navettamies
navettamies kirjoitti:
Joo, en kyllä keksi muuta kuin lopuksi tarkistaa yritteillä y =Asin(Bx C) , ja y=Acos(Bx C). (Ei olisi pitänyt koskea tähän ollenkaan.)
Joo, se pitääkin tehdä, niin että tästä erotetaan muuttujat: dy/dx= ±sqrt(1-y^2)=> dy/sqrt(1-y^2)=±dx, ja käytetään neljää eri sijoitusta: ±y=sin(t), ja ±y=cos(t). Siitä ne kaikki kahdeksan eri ratkaisua varmaankin irtoaa, ja sitten ne triviaali ykköset päälle.
0Äänestä
entajua
En ymmärrä ratkaisua. Miksi f on välttämättä kahdesti derivoituva?
0Äänestä
Ohman
f '(x) = sqrt(1 - f(x)^2). Koska f on derivoituva on yhtälön oikea puoli derivoituva joten myös f '' on olemassa.
Ohman
0Äänestä
eikaisentäänk
Häh? Eihän sqrt ole derivoituva nollassa eli kun f(x)=1.
0Äänestä
69060
Ohman tuolla edellä sievensi yhtälön muotoon f ''(x) = - f(x)
Otetaan yrite f(x) = C exp(rx) f' = r C exp(rx) f'' = r**2 C exp(rx) Sijoitetaan r**2 Cexp(rx)=-C exp(rx) r**2 = -1 r = /- i
Ratkaisuksi kelpaa f(x) = A exp(ix) B exp(-ix)
A ja B määräytyvät alkuehdoista. Niitä ei tehtävässä ole annettu. Ollaan kumminkin sinin ja cosinin "juurilla".
0Äänestä
navettamies
Äkkiä laskien alkuperäinen yhtälö ei tuolla toteudu. Voi olla, että laskin väärin. Jos noita minun tuloksiani purkaa sinin ja cosinin summakaavoilla, niin vakiot ovat tämän näköisiä: -sin(C) ja -cos(C)
0Äänestä
navettamies
navettamies kirjoitti:
Äkkiä laskien alkuperäinen yhtälö ei tuolla toteudu. Voi olla, että laskin väärin. Jos noita minun tuloksiani purkaa sinin ja cosinin summakaavoilla, niin vakiot ovat tämän näköisiä: -sin(C) ja -cos(C)
Förlåt! Toteutuu se alkuperäinen, jos 4AB=1
0Äänestä
69060
navettamies kirjoitti:
Förlåt! Toteutuu se alkuperäinen, jos 4AB=1
Kuon huomioidaan tuo ehto 4AB=1 ja se, että pätee
exp(ix) = cos(x) i sin(x) exp(-ix) = cos(x) - i sin(x)
saadaan
f(x) = (A 1/(4A)) cos(x) ( A-1/(4A) ) i sin(x)
Jos valitaan A niin, että ( A 1/(4A) ) = 0 A = /- 1/(2i) f(x)= /- sin(x)
Jos valitaan A niin, että ( A-1/(4A) ) = 0 A= /- 1/2 f(x) = /- cos(x)
0Äänestä
trigooon
(f(x))^2 (f'(x))^2=1
Sekä f(x), että f`(x) , tai oikeastaan niiden arvojoukko on oltava: -1 ≤ arvojoukko ≤ 1 , muuten tuo yhtälö ei päde.
Ei ole muita reaalifunktioita kuin sinx ja cosx, tai niiden yhdistelmä, joka tuon ehdon täyttää.
Siispä voidaan sivistyneesti arvata, että f(x) =Asin(Bx C), tai f(x) =Acos(Bx C).
Sijoitetaan nyt tuo jälkimmäinen alkuperäiseen yhtälöön, ja tulee:
A^2cos^2(Bx C) A^2B^2sin^2(Bx C)= 1 <=> A^2(cos^2(Bx C) B^2sin^2(Bx C))=1
Tuo toteutuu vain jos A=B=±1, joten f(x)=±cos(C±x)
Sijoituksella f(x)=Asin(Bx C), tulee f(x)=±sin(C±x)
Noita voi trigonometrisilla summakaavoilla avata vähän toisen näköisiksi, eli tulee niitä sinin ja cosinin yhdistelmiä.
0Äänestä
Integroija
"Ei ole muita reaalifunktioita kuin sinx ja cosx, tai niiden yhdistelmä, joka tuon ehdon täyttää."
Hieman mielenkiintoinen väite, kun on helppo näyttää, että f(x)=1 on ratkaisu.
0Äänestä
trigoon
Integroija kirjoitti:
"Ei ole muita reaalifunktioita kuin sinx ja cosx, tai niiden yhdistelmä, joka tuon ehdon täyttää."
Hieman mielenkiintoinen väite, kun on helppo näyttää, että f(x)=1 on ratkaisu.
Tottakai on ratkaisu, sehän on: sin(x)sin(x) cos(x)cos(x)
0Äänestä
Integroija
Nojuu, tottahan tuo, mutta joka tapauksessa tuo "sivistynyt" arvaus on aika rohkea, eikä sisällä esimerkiksi juuri tätä vakiofunktiota.
0Äänestä
trigoon
Integroija kirjoitti:
Nojuu, tottahan tuo, mutta joka tapauksessa tuo "sivistynyt" arvaus on aika rohkea, eikä sisällä esimerkiksi juuri tätä vakiofunktiota.
Kyllä se f(x)=1 sisältyy tuohon f(x)=cos(C-x):ään erikoistapauksena x=C.
0Äänestä
Derivoija
"Sekä f(x), että f`(x) , tai oikeastaan niiden arvojoukko on oltava: -1 ≤ arvojoukko ≤ 1 , muuten tuo yhtälö ei päde.
Ei ole muita reaalifunktioita kuin sinx ja cosx, tai niiden yhdistelmä, joka tuon ehdon täyttää."
Tämmöisten lausuntojen kanssa pitää olla hivenen varovainen, esim f(x)=1/(1 x^2) ja lukematon määrä muita reaalifunktioita toteuttaa ehdon mallikkaasti.
0Äänestä
trigoon
f(x)=1/(1 x^2), tämän arvojukko ei täytä koko suljettua väliä -1,1. Ja tietysti niitä on lukemattomia muitakin, koska niitä ei ole tähän kirjoitettu. Ei pysty lukeen.
0Äänestä
Ohman
Mihin tätä keskustelua on tarvittu tuon minun viestini / 8.8. 15:50 jälkeen? Näytinhän siinä ilman mitään arvauksia ja yritteitä miten yhtälö ihan yleisellä menettelyllä ratkaistaan. Jätin vain loppusilauksen tehtävän alkuperäiselle esittäjälle tehtäväksi. Kaikki ratkaisut kyllä löytyvät!
Noissa yritteissä ja arvauksissa on se vika että mitäs sitten jos ei arvaakaan. Yleinen menettely taas antaa tuloksen ihan arvauksista riippumatta. Eiköhän se ole opettavaisempaa sellaiselle joka ei tehtävää osaa ratkaista kuin nuo vippaskonstit.Sitten pystyy ratkaisemaan kaikki samanlaiset tehtävät.
Kun kirjoitetaan f(x) niin kyllähän yleensä tarkoitetaan funktiota f: R -> R. Muttta olihan tuo nimimerkin "69060"retki kompleksialueelle sinänsä hauska huomio.
Ohman
0Äänestä
navettamies
On tässä tullut ainakin minulle uutta se, että f(x)=sin^2(x) cos^2(x) toteuttaa tuon yhtälön. Varmaan muillekin.
0Äänestä
NoinhanSeOn
Koska on identtisesti 1
0Äänestä
Ohman
Saahan tämän helpomminkin ratkaistua kuin mitä minä aiemmin tein.Navettamies taisi yrittääkin jotain tämän tapaista.
Differentiaaliyhtälö on muotoa (1) f '(x) = /- sqrt(1 - f(x)^2). Nähdään heti, että arvot joilla tuo oikean puolen lauseke häviää ovat ratkaisuja eli suorat f(x) = 1 ja f(x) = -1.
Voidaan kirjoittaa (1) muotoon df/( /- (1 - f^2)) = dx.
Jos otetaan haara sqrt(1 - f^2) saadaan x = arcsin(f) C joten f = sin(x - C). Negatiivinen haara antaa tuloksen x = arccos(f) D josta f = cos(x - D).
Ohman
0Äänestä
Ohman
Lisään vielä kommentin: Jos y on yhtälön f^2 f ' ^2 = 1 ratkaisu niin myös - y on joten myös ratkaisut f = - sin(x - C) ja f = - cos (x-D) saadaan.
Ohman
0Äänestä
hiomistavähän
-sin(x-C) ei toteuta yhtälöä, jos x=C, se pitää sineistä raakata pois.
0Äänestä
Ohman
Mitä sekoilet? C on integroimisvakio. x on muuttuja.
Pisteessä x = C on f = sin(x - C) = sin(0) = 0. Mutta derivaatta on f '(0) = cos(0) = 1 joten f^2(0) f ' ^2(0) = 1.Yhtälö toteutuu.
Ohman
0Äänestä
lh64y
Wolfram alpha antaa vain ratkaisut f(x) = sin(x C) ja f(x) =-sin(x C)
0Äänestä
Ohman
Kyllä /- cos(x - D) on myös ratkaisu. Sijoita vaikka yhtälöön.Tai näin:
Jos f on ratkaisu niin sqrt(1 - f^2) on ratkaisu. Tämänkin näet helposti yhtälöön sijoittamalla. Ja cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)). Kun sinifunktio on ratkaisu on myös kosinifunktio.
Ja nuo vakiot C ja D voivat tietenkin olla positiivisia tai negatiivisia tai nollia.
Ohman
0Äänestä
Ohman
Ohman kirjoitti:
Kyllä /- cos(x - D) on myös ratkaisu. Sijoita vaikka yhtälöön.Tai näin:
Jos f on ratkaisu niin sqrt(1 - f^2) on ratkaisu. Tämänkin näet helposti yhtälöön sijoittamalla. Ja cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)). Kun sinifunktio on ratkaisu on myös kosinifunktio.
Ja nuo vakiot C ja D voivat tietenkin olla positiivisia tai negatiivisia tai nollia.
Ohman
WA:n ratkaisu johtunee yksinkertaisesti siitä, että cos(x) = sin(pi/2 - x).
Ohman
0Äänestä
lh64y
Ohman kirjoitti:
WA:n ratkaisu johtunee yksinkertaisesti siitä, että cos(x) = sin(pi/2 - x).
Ohman
Näin varmaankin, joo.
0Äänestä
navetaltataas
f(x) = sin(x C) ja f(x) =-sin(x C)
Nämä kattavat kaikki ratkaisut, kun käytetään yhteyksiä: sin(x)=-cos(pi/2 x), sin(x)=cos(pi/2-x) ja sin(x)=-sin(-x)
sin(x C)=-cos(pi/2 (x C))=-cos((pi/2 C) x)=-cos(D x) -sin(x C)=cos(pi/2 (x C))=cos((pi/2 C) x)=cos(D x)
0Äänestä
Tietä
Mistä saat ratkaisun f(x)=1?
0Äänestä
navetallemenossa
Tietä kirjoitti:
Mistä saat ratkaisun f(x)=1?
En minä ole oikeastaan saanut sitä koko aikana muulla kuin Pythagoraan lauseella erikoistapauksessa jossa f`(x)=0. Eikä sitä noista Wolframin ratkaisuista saakaan.
Mutta Ohman sen näytti, että se saadaan derivoimalla yhtälö y^2 (y`)^2=1 => yỳ y``y`=0, ja sitten tulon nollasäännöllä yhtälöstä y`(y y``)=0=> y`=0, josta y=C. Se kun sijoitetaan alkuperäiseen niin =>C= -1, eli y=f(x)= -1
0Äänestä
Ohman
navetallemenossa kirjoitti:
En minä ole oikeastaan saanut sitä koko aikana muulla kuin Pythagoraan lauseella erikoistapauksessa jossa f`(x)=0. Eikä sitä noista Wolframin ratkaisuista saakaan.
Mutta Ohman sen näytti, että se saadaan derivoimalla yhtälö y^2 (y`)^2=1 => yỳ y``y`=0, ja sitten tulon nollasäännöllä yhtälöstä y`(y y``)=0=> y`=0, josta y=C. Se kun sijoitetaan alkuperäiseen niin =>C= -1, eli y=f(x)= -1
Mainitsin kyllä myös tuossa toisessa yksinkertaisemmassa ratkaisussani / 14.8. 10:13 että senhän näkee suoraan, että f(x) = 1 ja f(x) = -1 ovat ratkaisuja, sillä tuolloin f '(x) = 0.
Pieni vihje. Kannattaa tarkastella yhtälöä kaaosteoreettiselta kannalta. Funktion arvot /- 1 ovat attraktoreita, joissa arvo voi aina siihen tultuaan viipyä mielivaltaisen pitkään. Attraktorien välillä arvo voi vaihtaa tilaansa (sopivassa vaiheessa olevaa) sinikäyrää noudattaen, kunnes päätyy lopulta samaan tai toiseen attraktoriarvoon. Näin saadaan muodostettua äärettömän laaja joukko erilaisia ratkaisuja, joissa funktio on jatkuva ja yhden kerran jatkuvasti derivoituva.
0Äänestä
Huutiukko
Tarkastelepa kaamosteorian kannalta!Siitä sitä viisautta löytyy!Yö ja päivä yhtä sekaisin kuin MattiKSinisalo!
Onkohan nyt näin yksinkertaisen tehtävän ollessa kyseessä syytä höpötellä tällaisia höpöstelyjä?
Voihan attraktori!
Huutiukko
0Äänestä
Pointtiaon
Sinisalon kommentti on hyvä. Ilmeisesti myös funkito f(x)=cos(x), kun x<0 ja f(x)=1, kun x>=0 toteuttaa ehdot.
0Äänestä
Ohman
Pointtiaon kirjoitti:
Sinisalon kommentti on hyvä. Ilmeisesti myös funkito f(x)=cos(x), kun x<0 ja f(x)=1, kun x>=0 toteuttaa ehdot.
Mitähän nyt tarkoitat?Ratkaisut on lueteltu yllä moneen kertaan eikä siellä ole tehty mitään rajoituksia muuttujalle x. Kyllä f(x) = /- 1 on ratkaisu jossa f on määritelty koko reaaliakselilla. Samoin ovat nuo muut ratkaisut määritetyjä koko reaaliakselilla.
Eipä ollut paljon "pointtia" jutussasi.
Ohman
0Äänestä
entajua
Tarkoitatko tätä: https://en.wikipedia.org/wiki/Attractor . Tuossa sanotaan, että attraktori on joukko. Mutta -1 ja 1 ovat lukuja. Tarkoitatko, että {-1,1} on attraktori? Vai että {-1} ja {1} ovat attraktoreja? En kyllä osaa kaaosteoriaa, mutta ei kai pelkkä luku voi olla joukko.
0Äänestä
Noinkohan
Ohman kirjoitti:
Mitähän nyt tarkoitat?Ratkaisut on lueteltu yllä moneen kertaan eikä siellä ole tehty mitään rajoituksia muuttujalle x. Kyllä f(x) = /- 1 on ratkaisu jossa f on määritelty koko reaaliakselilla. Samoin ovat nuo muut ratkaisut määritetyjä koko reaaliakselilla.
Eipä ollut paljon "pointtia" jutussasi.
Ohman
Ymmärsin Sinisalon kommentin niin että voidaan muodostaa ratkaisuja yhdistäen paloittain funktioita f = sinx, cosx, 1 ja -1 siten että tuollainen ratkaisu on jatkuva ja derivoituva.
0Äänestä
Pointtiaon
Ohman kirjoitti:
Mitähän nyt tarkoitat?Ratkaisut on lueteltu yllä moneen kertaan eikä siellä ole tehty mitään rajoituksia muuttujalle x. Kyllä f(x) = /- 1 on ratkaisu jossa f on määritelty koko reaaliakselilla. Samoin ovat nuo muut ratkaisut määritetyjä koko reaaliakselilla.
Eipä ollut paljon "pointtia" jutussasi.
Ohman
Pointtina oli juuri, että voidaan muodostaa äärettömän paljon paloittain määriteltyjä ehdot täyttäviä funkioita.
Vastaukset 48
Vanhimmat
sin(x)
sin(x C) ja cos(C-x)
Oliskohan vieläkin muita ?
±sin(C±x), ja ±cos(C±x)
Triviaalisti myös x=1 ja x=-1
Voisít selvittää itse etkä luntata muilta ihmisiltä.
Kysyin tätä, koska en osannut, enkä ymmärrä, miten tiedohaku liittyy lunttaukseen. Arvelin, ettei ole olemassa muita ratkaisuja, kuin yllä mainitut triviaaliratkaisut, mutten juuri tätä osaa todistaa.
(1) f(x)^2 f '(x)^2 = 1
=>
2 f(x) f '(x) 2 f '(x) f ''(x) = 0 ja siis f '(x) = 0 tai
f ''(x) = - f(x).
Jos f '(x) = 0 niin f(x) = c mutta täytyy olla c = / - 1 jotta yhtälö (1) toteutuu.Eräs ratkaisu on siis f(x) = /- 1.
Jos f ''(x) = - f(x) saadaan yhtälöryhmä
dy/dx = z , dz/dx = - y ja tästä dz/dy = - y/z
Jos dz/dy =- y/z niin z dz/dy =- y ja d/dy( 1/2 z^2) =- y josta 1/2 z^2 = - 1/2 y^2 C' josta z^2 =- y^2 C ( C' ja C vakioita).
Edelleen z = /- sqrt(- y^2 C) ja koska oli dy/dx = z saadaan
(2) Integraali ( dy/sqrt(- y^2 C) = /- x D .
Nyt sin(arcsin(y)) = y joten d/dy(arcsin(y) = 1/cos(arcsin(y)) =
1/sqrt(1 - sin^2(arcsin(y)) = 1/sqrt(1-y^2)
Samoin d/dy(arccos(y)) = - 1/sqrt(1 - y^2)
Tekemällä yhtälön (2) vasemmalle puolelle sopivan muuttujanvaihdon saat sen noitten derivaattalausekkeiden avulla integroitua ja lopputulos seuraa sitten. Teepä tämä loppu itse.
Muita ratkaisuja kuin näin saatavat ei ole.
Ohman
Melkein kyllä sijoittaisin alkuperäiseen tämän saadun:
Edelleen z = /- sqrt(- y^2 C) ja koska oli dy/dx = z. Siitä nimittäin välittömästi seuraa. C=1
Jos tuota C:tä roikottaa mukana, niin hyvin hankalaksi menee, en viitsi edes kokeilla.
Tästähän on helppo jatko: /- dy/sqrt(1- y^2 ) =dx
tapaus: asiny=x D=> y=sin(x D)
tapaus voidaan myös kertoa puolittain -1:llä=> acosy=-x D=> y=cos(D-x)
-tapauksesta vastaavasti : y=cos(x D), tai y=sin (D-x)
Tuossa alussa ratkaisisin suoraan: dy/dx= -sqrt(1-y^2)
Myönnän kyllä, että se triviaaliratkaisu y= -1 ei tuosta löydy. Se on älyttävä vaan muuten...
Perhana, siitähän puuttuu ne miinus etumerkkiset ratkaisut. Mistähä nekin saisi? Täytyy funtsata yön yli, tai sitten antaa olla...
Joo, en kyllä keksi muuta kuin lopuksi tarkistaa yritteillä y =Asin(Bx C) , ja y=Acos(Bx C).
(Ei olisi pitänyt koskea tähän ollenkaan.)
Joo, se pitääkin tehdä, niin että tästä erotetaan muuttujat: dy/dx= ±sqrt(1-y^2)=>
dy/sqrt(1-y^2)=±dx, ja käytetään neljää eri sijoitusta:
±y=sin(t), ja ±y=cos(t).
Siitä ne kaikki kahdeksan eri ratkaisua varmaankin irtoaa, ja sitten ne triviaali ykköset päälle.
En ymmärrä ratkaisua. Miksi f on välttämättä kahdesti derivoituva?
f '(x) = sqrt(1 - f(x)^2). Koska f on derivoituva on yhtälön oikea puoli derivoituva joten myös f '' on olemassa.
Ohman
Häh? Eihän sqrt ole derivoituva nollassa eli kun f(x)=1.
Ohman tuolla edellä sievensi yhtälön muotoon
f ''(x) = - f(x)
Otetaan yrite f(x) = C exp(rx)
f' = r C exp(rx)
f'' = r**2 C exp(rx)
Sijoitetaan
r**2 Cexp(rx)=-C exp(rx)
r**2 = -1
r = /- i
Ratkaisuksi kelpaa
f(x) = A exp(ix) B exp(-ix)
A ja B määräytyvät alkuehdoista. Niitä ei tehtävässä ole annettu. Ollaan kumminkin sinin ja cosinin "juurilla".
Äkkiä laskien alkuperäinen yhtälö ei tuolla toteudu. Voi olla, että laskin väärin. Jos noita minun tuloksiani purkaa sinin ja cosinin summakaavoilla, niin vakiot ovat tämän näköisiä: -sin(C) ja -cos(C)
Förlåt! Toteutuu se alkuperäinen, jos 4AB=1
Kuon huomioidaan tuo ehto 4AB=1 ja se, että pätee
exp(ix) = cos(x) i sin(x)
exp(-ix) = cos(x) - i sin(x)
saadaan
f(x) = (A 1/(4A)) cos(x) ( A-1/(4A) ) i sin(x)
Jos valitaan A niin, että
( A 1/(4A) ) = 0
A = /- 1/(2i)
f(x)= /- sin(x)
Jos valitaan A niin, että
( A-1/(4A) ) = 0
A= /- 1/2
f(x) = /- cos(x)
(f(x))^2 (f'(x))^2=1
Sekä f(x), että f`(x) , tai oikeastaan niiden arvojoukko on oltava: -1 ≤ arvojoukko ≤ 1 , muuten tuo yhtälö ei päde.
Ei ole muita reaalifunktioita kuin sinx ja cosx, tai niiden yhdistelmä, joka tuon ehdon täyttää.
Siispä voidaan sivistyneesti arvata, että f(x) =Asin(Bx C), tai f(x) =Acos(Bx C).
Sijoitetaan nyt tuo jälkimmäinen alkuperäiseen yhtälöön, ja tulee:
A^2cos^2(Bx C) A^2B^2sin^2(Bx C)= 1 <=> A^2(cos^2(Bx C) B^2sin^2(Bx C))=1
Tuo toteutuu vain jos A=B=±1, joten f(x)=±cos(C±x)
Sijoituksella f(x)=Asin(Bx C), tulee f(x)=±sin(C±x)
Noita voi trigonometrisilla summakaavoilla avata vähän toisen näköisiksi, eli tulee niitä sinin ja cosinin yhdistelmiä.
"Ei ole muita reaalifunktioita kuin sinx ja cosx, tai niiden yhdistelmä, joka tuon ehdon täyttää."
Hieman mielenkiintoinen väite, kun on helppo näyttää, että f(x)=1 on ratkaisu.
Tottakai on ratkaisu, sehän on: sin(x)sin(x) cos(x)cos(x)
Nojuu, tottahan tuo, mutta joka tapauksessa tuo "sivistynyt" arvaus on aika rohkea, eikä sisällä esimerkiksi juuri tätä vakiofunktiota.
Kyllä se f(x)=1 sisältyy tuohon f(x)=cos(C-x):ään erikoistapauksena x=C.
"Sekä f(x), että f`(x) , tai oikeastaan niiden arvojoukko on oltava: -1 ≤ arvojoukko ≤ 1 , muuten tuo yhtälö ei päde.
Ei ole muita reaalifunktioita kuin sinx ja cosx, tai niiden yhdistelmä, joka tuon ehdon täyttää."
Tämmöisten lausuntojen kanssa pitää olla hivenen varovainen, esim f(x)=1/(1 x^2) ja lukematon määrä muita reaalifunktioita toteuttaa ehdon mallikkaasti.
f(x)=1/(1 x^2), tämän arvojukko ei täytä koko suljettua väliä -1,1.
Ja tietysti niitä on lukemattomia muitakin, koska niitä ei ole tähän kirjoitettu. Ei pysty lukeen.
Mihin tätä keskustelua on tarvittu tuon minun viestini / 8.8. 15:50 jälkeen? Näytinhän siinä ilman mitään arvauksia ja yritteitä miten yhtälö ihan yleisellä menettelyllä ratkaistaan. Jätin vain loppusilauksen tehtävän alkuperäiselle esittäjälle tehtäväksi. Kaikki ratkaisut kyllä löytyvät!
Noissa yritteissä ja arvauksissa on se vika että mitäs sitten jos ei arvaakaan. Yleinen menettely taas antaa tuloksen ihan arvauksista riippumatta. Eiköhän se ole opettavaisempaa sellaiselle joka ei tehtävää osaa ratkaista kuin nuo vippaskonstit.Sitten pystyy ratkaisemaan kaikki samanlaiset tehtävät.
Kun kirjoitetaan f(x) niin kyllähän yleensä tarkoitetaan funktiota f: R -> R.
Muttta olihan tuo nimimerkin "69060"retki kompleksialueelle sinänsä hauska huomio.
Ohman
On tässä tullut ainakin minulle uutta se, että f(x)=sin^2(x) cos^2(x) toteuttaa tuon yhtälön. Varmaan muillekin.
Koska on identtisesti 1
Saahan tämän helpomminkin ratkaistua kuin mitä minä aiemmin tein.Navettamies taisi yrittääkin jotain tämän tapaista.
Differentiaaliyhtälö on muotoa (1) f '(x) = /- sqrt(1 - f(x)^2). Nähdään heti, että arvot joilla tuo oikean puolen lauseke häviää ovat ratkaisuja eli suorat f(x) = 1 ja f(x) = -1.
Voidaan kirjoittaa (1) muotoon df/( /- (1 - f^2)) = dx.
Jos otetaan haara sqrt(1 - f^2) saadaan x = arcsin(f) C joten
f = sin(x - C). Negatiivinen haara antaa tuloksen x = arccos(f) D josta
f = cos(x - D).
Ohman
Lisään vielä kommentin: Jos y on yhtälön f^2 f ' ^2 = 1 ratkaisu niin myös - y on joten myös ratkaisut f = - sin(x - C) ja f = - cos (x-D) saadaan.
Ohman
-sin(x-C) ei toteuta yhtälöä, jos x=C, se pitää sineistä raakata pois.
Mitä sekoilet? C on integroimisvakio. x on muuttuja.
Pisteessä x = C on f = sin(x - C) = sin(0) = 0. Mutta derivaatta on f '(0) = cos(0) = 1 joten f^2(0) f ' ^2(0) = 1.Yhtälö toteutuu.
Ohman
Wolfram alpha antaa vain ratkaisut
f(x) = sin(x C)
ja
f(x) =-sin(x C)
Kyllä /- cos(x - D) on myös ratkaisu. Sijoita vaikka yhtälöön.Tai näin:
Jos f on ratkaisu niin sqrt(1 - f^2) on ratkaisu. Tämänkin näet helposti yhtälöön sijoittamalla. Ja cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)). Kun sinifunktio on ratkaisu on myös kosinifunktio.
Ja nuo vakiot C ja D voivat tietenkin olla positiivisia tai negatiivisia tai nollia.
Ohman
WA:n ratkaisu johtunee yksinkertaisesti siitä, että cos(x) = sin(pi/2 - x).
Ohman
Näin varmaankin, joo.
f(x) = sin(x C)
ja
f(x) =-sin(x C)
Nämä kattavat kaikki ratkaisut, kun käytetään yhteyksiä:
sin(x)=-cos(pi/2 x), sin(x)=cos(pi/2-x) ja sin(x)=-sin(-x)
sin(x C)= sin(-(-x-C))=-sin(-C-x)=-sin(D-x)
-sin(x C)= -sin(-(-x-C))=--sin(-C-x)=sin(D-x)
sin(x C)=cos(pi/2-(x C))=cos((pi/2-C)-x)=cos(D-x)
-sin(x C)=-cos(pi/2-(x C))=-cos((pi/2-C)-x)=-cos(D-x)
sin(x C)=-cos(pi/2 (x C))=-cos((pi/2 C) x)=-cos(D x)
-sin(x C)=cos(pi/2 (x C))=cos((pi/2 C) x)=cos(D x)
Mistä saat ratkaisun f(x)=1?
En minä ole oikeastaan saanut sitä koko aikana muulla kuin Pythagoraan lauseella erikoistapauksessa jossa f`(x)=0. Eikä sitä noista Wolframin ratkaisuista saakaan.
Mutta Ohman sen näytti, että se saadaan derivoimalla yhtälö y^2 (y`)^2=1 =>
yỳ y``y`=0,
ja sitten tulon nollasäännöllä yhtälöstä y`(y y``)=0=> y`=0,
josta y=C. Se kun sijoitetaan alkuperäiseen niin =>C= -1, eli y=f(x)= -1
Mainitsin kyllä myös tuossa toisessa yksinkertaisemmassa ratkaisussani / 14.8. 10:13 että senhän näkee suoraan, että f(x) = 1 ja f(x) = -1 ovat ratkaisuja, sillä tuolloin f '(x) = 0.
Ohman
Pieni vihje. Kannattaa tarkastella yhtälöä kaaosteoreettiselta kannalta. Funktion arvot /- 1 ovat attraktoreita, joissa arvo voi aina siihen tultuaan viipyä mielivaltaisen pitkään. Attraktorien välillä arvo voi vaihtaa tilaansa (sopivassa vaiheessa olevaa) sinikäyrää noudattaen, kunnes päätyy lopulta samaan tai toiseen attraktoriarvoon. Näin saadaan muodostettua äärettömän laaja joukko erilaisia ratkaisuja, joissa funktio on jatkuva ja yhden kerran jatkuvasti derivoituva.
Tarkastelepa kaamosteorian kannalta!Siitä sitä viisautta löytyy!Yö ja päivä yhtä sekaisin kuin MattiKSinisalo!
Onkohan nyt näin yksinkertaisen tehtävän ollessa kyseessä syytä höpötellä tällaisia höpöstelyjä?
Voihan attraktori!
Huutiukko
Sinisalon kommentti on hyvä. Ilmeisesti myös funkito f(x)=cos(x), kun x<0 ja f(x)=1, kun x>=0 toteuttaa ehdot.
Mitähän nyt tarkoitat?Ratkaisut on lueteltu yllä moneen kertaan eikä siellä ole tehty mitään rajoituksia muuttujalle x. Kyllä f(x) = /- 1 on ratkaisu jossa f on määritelty koko reaaliakselilla. Samoin ovat nuo muut ratkaisut määritetyjä koko reaaliakselilla.
Eipä ollut paljon "pointtia" jutussasi.
Ohman
Tarkoitatko tätä: https://en.wikipedia.org/wiki/Attractor . Tuossa sanotaan, että attraktori on joukko. Mutta -1 ja 1 ovat lukuja. Tarkoitatko, että {-1,1} on attraktori? Vai että {-1} ja {1} ovat attraktoreja? En kyllä osaa kaaosteoriaa, mutta ei kai pelkkä luku voi olla joukko.
Ymmärsin Sinisalon kommentin niin että voidaan muodostaa ratkaisuja yhdistäen paloittain funktioita f = sinx, cosx, 1 ja -1 siten että tuollainen ratkaisu on jatkuva ja derivoituva.
Pointtina oli juuri, että voidaan muodostaa äärettömän paljon paloittain määriteltyjä ehdot täyttäviä funkioita.