Mikä on suurimman ellipsin sisään mahtuvan kolmion pinta-ala puoliakaselien a ja b funktiona?
Kolmio ellipsissä
Tätäpitikysyä
10114
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Pikaisesti tarkistamatta laskien a*b*5*sqrt5/9.
Tuossa tuli virhe, Aeijan laskema a*b*3*sqrt3/4 taitaa olla oikein. Ensin pitäisi osoittaa että suurin on kolmio jonka kanta on ellipsin suuremman akselin suuntainen. Yksi tapa on olettaa jokin leikkauspiste kolmion kannalle ja ellipsin pienemmälle akselille ja ottaa niiden välinen kulma parametriksi. Kolmion korkeus voidaan maksimoida tietylle kannalle kulmaparametrille. Lopuksi on ositettava että suurin kolmio saadaan kun kanta on kohtisuorassa pikkuakseliin nähden. Turhan monimutkaista tässä esitettäväksi.
Suurimman kolmion kanta voi olla myös bakselin suuntainen, sama ala tulee.
Tämä ongelma on varmaan vuosisatoja tutkittu, joten olkoon, ei varmasti ratkea ainakaan minun pähkäilyilläni)
(Tuossa minun omaani tekemässäni kommentissa saattaisi jotain itua olla, siis tässä: Kolmion ala kun on ½*kanta*korkeus, eli tuon kuvan merkinnöillä
2x*(y b)*½, niin ilman muuta kaikista saman kannan omaavista kolmioista, sen kolmion ala on suurin , jolla on suurin korkeus, Korkeus taas on suurimmillaan silloin kun se on y b, eli tasakylkinen kolmio on suurin alaltaan. Tasakylkistä kolmiota ei varmaankaan? voi ellipsin kehälle piirtää muuten kuin siten , että kanta on a:n tai b:n suuntainen. Tuo tulos pätee ellipsin erikoistapaukseen ympyrään, joten kaipa se nyt ainakin oikein on)
Tuossa on kyllä järkeä:
"Tämä ongelma on varmaan vuosisatoja tutkittu, joten olkoon, ei varmasti ratkea ainakaan minun pähkäilyilläni."
Muussa ei.
Ei se ihan järjetöntä ole.
Kaikista saman kannan omaavista kolmioista, sen kolmion ala on suurin , jolla on suurin korkeus ja se edellyttää tasakylkistä kolmiota. Jos nyt piirretään ellipsin kehälle sellaisia tasakylkisiä kolmioita joilla kaikilla on yhtä pitkä kanta, ja lisäksi se kanta ≤ b, niin sen kolmion ala on suurin jonka kanta on b-akselin suuntainen, koska sillä on suurin korkeus.
Jos piirretään sellaisia tasakylkisiä kolmioita joilla b ≤ kanta ≤ a, niin sellaisen kolmion ala on suurin, jonka kanta on a-akselin suuntainen, koska sillä on suurin korkeus.
Jos ne niin piirretään ja optimoidaan suurin ala, niin todetaan, että molemmissa tapauksissa saavutetaan yhtä suuri suurin ala, jonka tuolla toisessa ketjussa laskin.
kanta ≤ 2b, 2b ≤ kanta ≤ 2a.. Korjataan noi.
Tuo taitaa olla helppo ratkaista pienellä päättelyllä. Suurin ympyrän sisään mahtuva kolmio on tasasivuinen. Jos ympyrän säde on r, niin tämän kolmion pinta-ala on 3*sqrt(3)*r^2/4. Kun tätä kuviota venytetään tai kutistetaan mielivaltaisessa suunnassa lineaarisesti jollain kertoimella, niin kolmio pysyy kolmiona mutta ympyrä korvautuu ellipsillä. Kolmion pinta-ala muuttuu suoraan verrannollisena skaalauskertoimeen. Ja kolmion pinta-alan lausekkeessa tekijä r^2 korvautuu tekijällä a*b, missä a ja b ovat ellipsin iso- ja pikkuakselin puolikkaat.
Tuollainen lineaarimuunnos taitaa toimia vain symmetriasuunnassa. Ajatellaanpa seuraavasti: on pyöreä putki ja sen sisällä tasasivuinen kolmioputki jonka kulmapisteet ovat sylinterin kehällä. Kolmion sivun mitta on yksikön suuruinen. Valitaan piste kolmioputken yhdeltä särmältä, toinen piste toiselta särmältä yhden yksikön etäisyydeltä ja kolmas piste kolmannelta särmältä kahden yksikön etäisyydeltä edellisestä. Nämä kolme pistettä määrittävät tason, jolla putket leikataan. Sylinteriputken leikkauskuvio on nyt ellipsi ja sen sisällä on kolmio, jonka sivujen pituudet ovat sqrt2, sqrt5 ja sqrt10. Eli tasasivuinen kolmio on kuvautunut epäsäännölliseksi kolmioksi, joka ei ilmeisestikään ole pinta-alaltaan suurin mahdollinen.
Okoon x,y-tason ympyrä x^2 y^2 = 1. Muunnos u= a x ja v = by (a > 0, b > 0) tekee siitä u,v-tason eipsin u^2/a^2 v^2/b^2 = 1.
Muunnoksen Jacobin determinantin J arvo on ab ja se on siis vakio. Siis kaikki pinta-aat muuttuvat siten, että jos x,y-tasossa on aue A siitä tuee u,v-tason aue B ja pinta-aa
V(A) -> V(B) = J V( A) = ab V(A)
Jos siis ympyrän sisään mahtuvan suurimman komion A aa on tuo V(A) niin siitä tuee eipsin sisään piirretty komio B jonka pinta-aa V(B) = ab V(A).
Nyt jos C on mikä tahansa ympyrän sisään piirretty komio ja A on tuo suurin niinV(A) >= V(C ). Siis myös ab V(A) = V(B) >= ab V(C) joten B on suurin eipsin sisään piirretty komio.(Jokainen eipsin komio saadaan tuota muunnosta käyttäen jostain ympyrän komiosta.)
MKS oi oikeassa, seitin nyt vain vähän matemaattisemmin tuon asian.
isätkää itse se puuttuva kirjain, k:n ja m:n väistä, tähän tekstiin!
Ohman
Noinhan se on kun tarkemmin ajattelee. Tuo merkitsee että tietyssä ellipsissä on ääretön määrä erilaisia suurimpia mahdollisia kolmioita, tasakylkinen on vain yksi erityistapaus. Ajatellaan että meillä on ympyrä ja sen sisällä tasasivuinen kolmio, ja sitten nuo projisoidaan tasolle, joka muodostaa kulman ympyrä-kolmiotason kanssa. Ympyrän projektiona saadaan ellipsi ja sen sisälle erilaisia projisoituja kolmioita siitä riippuen, miten kolmio on kiertynyt tasojen leikkaussuoraan nähden. Kaikki ne ovat suurimpia mahdollisia muodostuneessa ellipsissä.