Totaalinen tenkka poo tulee, kun saan eri vastauksen kun kirjan takana. Yllätys ei toki ole jos empiriassa vaan väärä vastaus..
Mutta koska mua häiritsee niin jaksaisiko joku fiksu ja ei niin väsynyt ratkaista tämän tehtävän b osan:
Aristoteleen kannattajay pudottivat kuulia Pisan kaltevasta tornista.
A Laske putoamisaika, tornin korkeus 55.86m
B Aristoteleen kannattajat väittivät että raskas kuula putoaa nopeammin kuin kevyt kuula. Tehtyään pudotuspudotuskokeen, heidän lopputuloksensa oli että kun raskas kuula oli maassa, kevyt kuula oli 0.051m maanpinnan yläpuolella. Mikä alkunopeus kevyemmälle kuulalle olisi pitänyt antaa, jotta kuulat olisivat olleet samaan aikaan maassa?
Takana lukee että 0.015m/s
Mutta koska mua häiritsee niin jaksaisiko joku fiksu ja ei niin väsynyt ratkaista tämän tehtävän b osan:
Aristoteleen kannattajay pudottivat kuulia Pisan kaltevasta tornista.
A Laske putoamisaika, tornin korkeus 55.86m
B Aristoteleen kannattajat väittivät että raskas kuula putoaa nopeammin kuin kevyt kuula. Tehtyään pudotuspudotuskokeen, heidän lopputuloksensa oli että kun raskas kuula oli maassa, kevyt kuula oli 0.051m maanpinnan yläpuolella. Mikä alkunopeus kevyemmälle kuulalle olisi pitänyt antaa, jotta kuulat olisivat olleet samaan aikaan maassa?
Takana lukee että 0.015m/s
Vastaukset 27
Vanhimmat
Tossahan ratkaistaan ekana putoamisaika H=½gt^2:n kaavasta.
Iso H on tornin korkeus.
Sitten Vo=s/t , jossa s= se 0.051 m
Höpsis.
Ilman vastus pienentää molempien kuulien liike-energiaa. Kevyt on maassa myöhemmin kuin raskas. Tuon voi helposti todeta pudottamalla rautakuulan ja ilmapallon ihan vaikka olohuoneessa. Ei tarvitse matkustaa Italiaan asti.
Raskaammalle kivelle:
H1 = g1*t^2/2
Kevyemmälle kivelle:
H2 = g2*t^2/2
Alkuvauhti kevyemmälle kivelle:
H1 = v*t g2*t^2/2
Mistä:
H1-H2 = v*t
Nyt on kolme tuntematonta (t, g1, g2). Ilmeisesti tehtävässä pitää olettaa että g1 on yhtä kuin g ilman vastusta jolloin eka yhtälöstä voidaan ratkaista t. Virhe on joka tapauksessa pieni.
A - kohdasta päätellen kyseessä lienee alkeistehtävä, joka ei puutu ilmanvastukseen, vaan havainnollistaa peruskaavojen käyttöä.
Normaalin kiihtyvyyden mukaan voit laskea putoamisajan ja pienemmän putoamismatkan lisäys on vo*t , josta vastaukseksi tulee esittämäsi .
Onhan se ilmavastus tuossa taustalla, eihän se kevyempi kivi olisi muutoin tullut myöhemmin perille. Tehtävässä pitäisi selostaa että raskaalle kivelle oletetaan ilmanvastus merkityksettömäksi.
Kun ilmanvastus unohdetaan, niin pudotusaika on 3.375 s ja kevyemmän tarvitsema alkunopeus 0.015 ms/s.
Ilmanvastuksen takia kevyempi tarvitsee hieman "tasoitusta".
0.015 m/s, hups.
Tämä olisi kyllä ihan mielenkiintoinen laskettava, siis se kuinka se kevyempi kuula käyttäytyy siinä nopeuden lisäyksessään. Se nopeuden lisäys kun lisää myös ilman vastusta. Tämä olisi siis laskettava differentaaliyhtälöiden kautta ja sovitettava kuulien massat ja imanvastuskerroin ensinnäkin niin, että rakoa tulee tuo 5 cm, ja sitten säätää integroimisvakio niin, että olisivatkin samassa ajassa yhtäaikaa maassa.
Minähän kyllä jo aikaisemmin laskin, että kilon painoinen ontto rautakuula , d=17 cm, tulee alas 3,52 s, mutta järjetöntä tätä aikaa olisi sijoittaa tavallisen v=s/t yhtälöön.
t pitäisi sijoittaa käsiteltävään kevyemmän kuulan diff.yhtälöön ja ratkaista siitä alkunopeus(integroimisvakio). En ryhdy siihen
Tätä voi kyllä pähkäillä siten että asettaa painavamman kuulan kiihtyvyydeksi (g-dg), ja ratkaista tavallisesti sen putoamisajan, joka on siis sqrt((2H/(g-dg)), ja sen kun sijoittaa Vo lausekkeeseen niin tulee: Vo=s/(sqrt(2H))*sqrt(g-dg)=
1/((sqrt(2H))*sqrt(g*s^2-dg*s^2).
Nyt dg*s^2 on hyvin pieni, se voidaan olettaa nollaksi, ja jää Vo=s*sqrt(g/(2H))
Tuon putoamisen diff-yhtälön ratkaisu on mielenkiintoinen matikkatehtävä. Sen verran "lunttasin" Wolframista, että sille löytyy analyyttinen ratkaisu.
Olen sen joskus klaarannut. Tässä nyt lisää vaikeusastetta se, että tuosta jää varmaan plus-merkit näkymättä, mutta tuolla ihan lopussa nuo s:n ja t:n lausekkeet ovat, ja v oli jo aikaisemmin.
m*dv/dt=F-Fu-(kv^2)
dv/dt=((F-Fu)/m)-(k/m*v^2)
dv/dt=k/m*(((F-Fu)/k)-v^2)
dv/dt=a*(b^2-v^2), jossa a=k/m, ja b^2=(F-Fu)/k
(a ei ole siis kiihtyvyys, vaan vakio niin kuin b:kin, ja nämä yleensä saadaan laskettua tehtävän oletuksista. b on myös ns. rajanopeus, joka vapaassa pudotuksessa on tietysti sqrt(mg/k))
Separoinnin jälkeen:
dv/(b^2-v^2)=adt
Vasen puoli osamurtohajotelmalla: dv/(b^2-v^2)=
(M/(b v)) (N/(b-v))=(Mb-Mv Nb Nv)/(b^2-v^2)
N-M=0
b(M N)=dv=>N=M=dv/(2b)
dv/(b^2-v^2)=dv/(2b)((1/(b v)) (1/(b-v))) , ja integraali 1/(2b)(ln((b v)/(b-v)), jonka on siis oltava oikean puolen integraali: at C
Alkuehto :
v(0)=0=>C=0
Saadaan.
(b v)/(b-v)=e^(2abt)=>v=b(e^(2abt)-1)/(e^(2abt) 1)=b*tanh(abt)
Tämä on nyt integroitava, jotta saadaan s, ja jätetään tuo kerroin b hetkeksi sivuun.
s= int (tanh(abt)dt)
Integrointi sijoituksella u=e^abt e^-abt ja du=(e^abt-e^-abt)*ab*dt
tanh(abt)=sinh(abt)/cosh(abt)=(e^abt-e^-abt)/(e^abt e^-abt)
Integrointi muuttuu: 1/ab* int (du/u)=1/ab*(ln(u) C), ja takaisin sijoittamalla:
1/ab*(ln(e^abt e^-abt) C)=1/ab*ln(2cosh(abt)) C)=
1/ab(ln2 ln(cosh(abt)) C)=1/ab*(ln(cosh(abt)) C1)
(vakiot yhdistetty)
Alkuehto s(0)=0=>C1=0.
Edessä oli lisäksi kertoimena b, joten s=ln(cosh(abt))/a
e^(as)=cosh(abt)=>t=acosh(e^(as))/(ab)
Hieno suoritus.
Heikki KInnunen totesi, että hyväksi näyttelijäksi tulee, kun harrastaa näyttelemistä. Hän lisäsi, että näin se on matematiikassakin. Pitää harrastaa matematiikkaa.
Tätä ei varmaan kukaan usko, mutta sain tämän laskettua edellä selostamallani tavalla, ja jos raskaampi on 10 kg ja kevyempi on 9 kg, niin sellaiselle kuulalle, jolla tuo k=0.00463, niin tarvittava alkunopeus on 0.0157 m/s, ja tässä tehtävässä saatu oli 0.0151 m/s.
Tuo 9 kg massa tuli siitä viiden sentin matkaerosta.
Oletuksella, että 10 kg pallo on rautaa, saa tuosta k-arvosta sitten ilman vastuskeroimeksi K=0.50, mikäli syötin kaikki arvot oikein laskuriin.
Netistä näyttää löytyvän pallolle 0.34. Nykyautoilla se on jotain alle 0.30.
Menee kumminkin "hehtarille".
Minun palloni säde on 8,5 cm, joten tuo k= ½*1,2*pi*0.085^2*0,34.
Palloni on siis ontto, jos se on rautaa, ja se kevyempi pallo on sitten vähän enemmän ontto.
OK. Siis menee ihan "nappiin". Minulla varmaan joku hansikashäiriö, kun laskin calculaattorilla.
Ei siin sulla mitään häiriöö ollut, et vain tiennyt palloni halkaisijaa. Oletit sen pallon olevan umpirautaa, ja laskit sille tiheyden avulla säteen, varmaan 6,7 cm.
Juuri näin. Oletin sen 10 kg pallon umpinaiseksi.
Mutta tarkka mittaus oli tuo Aristoteleen kannattajien tekemä.
Laitetaan tähän nyt vielä kiihtyvyyskäyrä sille 9 kg:n pallolle. Se tosin ei varmaan taaskaan toimi...https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot y=4*9.81e^(0.14208*x)/(e^(0.14208x) 1)^2 , from 0 to 3.4
plus merkki ennen ykköstä siitä puuttuu
Nätti käyrä. Kun piirtää 40 s asti, niin näkyy, miten ilmanvastus syö kiihtyvyyden.
Noinhan se menee ihan suoraviivaisesti, eli sen oikeastaan näkee suoraan.
Syy miksi aikanaan tein tämän kaavan johtamisen, silloin hyvin kauan sitten, e^x potenssien kautta johtui siitä, että minulla ei ollut jostain syystä kotona nettiyhteyttä silloin , eikä Windowsin laskimessa ollut noita hyperbolisten funktioiden näppäintä, eli en saanut niitä mistään ja mieli teki kuitenkin laskea.
Tuo minun käyttämäni sijoituskin on itse asiassa u=cosh(abt), eli silläkin tulisi aika suoraviivaisesti. Tuo minun tekeleeni onkyllä hyvin keinotekoisesti väkisin väännetty, sen voi jättää unohduksien muistikirjaan.
Itse tämän asian soisin kyllä tulevan mukaan lukion lukusuunnitelmiin, eli putoamisen väliaineen vastuksessa. Ei se niin kovin vaikea asia ole. Vaikka vaan pelkkinä kaavoina, nyt kun näillä välineillä saa nuo itse numeeriset laskemiset hyvin helposti.
Ok. Panin nyt vain tuon kommentin kun asia "pisti silmääni" juttuasi lukiessani.
Ohman
Tuo ilmanvastuskaava voi olla lukion fysiikkakirjassa ja kaavakokoelmassa mutta on kai aika selvää että diffisyhtälöitä ei niistä löydy, kun lukion matematiikassakaan niitä ei taideta enemmälti opettaa.
Tähän ei ihan äkkiä muuta mittaustapaa keksi kuin yleisurheilukilpailuissa tai raveissa käytettävän maalikameratekniikan.
Rakentaisin vaakatyyppisen laitteen jonka tasoja voidaan laittaa eri korkeuksille. Sitten seurataan kumpaan suuntaan viisari ensiksi värähtää.
Ehkä sinulla on väärän kirjan takakansi edessäsi. Katso edes se, että sinulla on oikea kirja edessäsi.