Maa11 tehtävät

Eukleideen algoritmilla.

21n 4=14n 3 7n 1
14n 3=2*(7n 1) 1

Oletan että toinen tehtäväsi on lukujen 3^(n 2) - 8 ja 3^n - 1 syt:n löytäminen. Sekin menee mainitulla algoritmilla:

(3^(n 2) - 8) / (3^n - 1) = 3^2 1/(3^n - 1)

Jakojäännös = syt = 1.

Mutta kirjoittaisit edes tehtävät oikein. Mikä noita arvailemaan.

Ohman

21n 4/14n 3
Jos sitä voisi sieventää olisi olemassa luku p>1 joka jakaa sekä nimittäjän ja osoittajan
p|21n 4 ja p|14n 3
Silloin p jakaa myös minkä tahansa näiden lineaarikombinaation eli myös
p|2(21n 4)-3(14n 3)=42n 8-42n-9=-1
Siis p jakaisi luvun 1, mikä on ristiriita.

Jälkimmäinen oletan
3^(n 2)-8 ja 3^n-1
3^(n 2)-8=3^2 x 3^n -8 =9 x 3^n -8
jos nyt jokin luku p>1 jakaisi luvut niin se jakaisi näiden lineaarikombinaation

9 x 3^n -8 -9x(3^n-1)=1 eli jälleen p jakaisi luvun 1 ristiriita.

(21n 4)/(14n 3) = 1 (7n 1) / (14 n 3)

(14 n 3) / (7n 1) =2 1/(7n 1)

(7n 1) /1 = 7n 1 Jako meni tasan.syt on viimeinen nollasta eroava jakojäännös joka tässä on 1 eli syt = 1 eli ei voida sieventää

Polynomien P(x) ja Q(x) syt löytyy siis Eukleideen algoritmilla siten, että P jaetaan Q:lla (ihan jakokulmassa).Saadaan osamäärä T1(x) ja jakojäännös R1(x) Sitten Q(x) jaetaan R1(x) : llä Saadaan osamäärä T2(x) ja jakojäännös R2(x).Sitten lasketaan R1(x)/R2/(x) ja saadaan osamäärä T3(x) ja jakojäännös R4(x) Tätä jatketaan kunnes jako menee tasan,Viimeinen nollasta eroava jakojäännös on syt.

Luvuilla toimii myös Esim 210 = 2*3*5*7 ja 49 = 7*7 , näiden syt on 7.
2
210/49 = 4 14/49, 49/14 = 3 7/14 , 14/7 = 2. Jako meni tasan joten jakojäännös = 0.Viimeisin nollasta eroava jakojäännös oli 7 ja tämä on siis syt.

Ei näissä syt-laskuissa sen kummempia päättelyitä tarvita.

Ohman