Putkesta rakennetaan kehikko. Putkea on käytettävissä 36m. Määritä päätykolmion kylki ja rakennelman pituus niin, että kehikon rajaama tilavuus on mahdollisimman suuri. Rakennelma on muodoltaan kuin talon harjakatto. Räystäät ja harja muodostavat 3 putkista rakennettavaa pitkää sivua. Päätykolmion puolella on 2 kummassakin päässä putkista rakennettavaa harjalle nousevaa sivua.
Apuvah....
Apuvah....
Vastaukset 30
Vanhimmat
Oikeat vastaukset ovat 6m ja 4m
Ei riitä sun putkes noilla vastauksilla. 4m molemmat luulisin
yhtäkkiä ajatellen ei tiedot riitä... mikö on harjakaton kulma?
No se maksimi kyllä saavutetaan suorakulmaisella päätykolmiolla.
ai "Syötä vähintään 3 merkkiä"
onneks täällä on mua paljon viisaampia
Ruutupaperille aikani piirreltyäni sain seuraavat lukemat:
- kanta: 5 metriä
- kyljet: 6,5 metriä
- pituus: 6 metriä
Putkea kuluisi siis 5 6,5*2 3*6 metriä = 36 metriä.
Tilavuus olisi 108 kuutiometriä.
Oho, pitäähän niitä olla päätykolmioita 2 kpl. Palaan ruutuvihkon ääreen.
Tulin nyt siihen tulokseen, että päätykolmion sivujen pituudet ovat 4 metriä ja vaakaputket 4 metriä / kpl. Silloin kuluisi putkea 12m x 2 4m x 3 = 36 metriä.
Tilavuutta systeemillä olisi noin 27,71 kuutiometriä.
Pakko olla oikein, koska viestin lähetyksen tarvittava S24-tarkistussummakin on 36.
Ratkaisumekanismina kysytään yhtälön ja sidosyhtälön muodostusta sekä derivointia. Hienoa toki jos joku muutenkin osaa ratkaista :)
No tuossa tuo tehtävä on hieman epäselvä. Jos päätykolmion muodostaa kolme yhtä pitkää putkea, silloin ratkaisu on niin kuin piirsinköväärin on esittänyt. Jos päätyputket ovat pituudeltaan x ja vaakaputket y, on maksimoitava suure olennaisesti x^2*y (vakiot voidaan jättää pois) ja sidosyhtälö 6x 3y=36.
Jos taas päädyssä on vain kaksi putkea, on ensin todettava että tasasivuinen on alaltaan suurin päätykolmio. Silloin sidosyhtälö muuttuu muotoon 4x 3y=36. Silloin päätyjen putkien pituudeksi tulee 6 ja vaakaputkien 4.
Siinähän ei ole päädyissä alaputkea ollenkaan, joten http://aijaa.com/xeiq4O
Jos päätykolmioissa ei tarvita alaputkea, niin sain tulokseksi kolmion sivut 6 metriä ja pituus 4 metriä, jolloin tilavuutta olisi noin 62,3 kuutiometriä.
Kaavat joita käytin
B27=A27*A27*NELIÖJUURI(3)/4
C27=36-(2*A27)*2
D27=B27*(C27/3)
A27:ssa oli kolmion sivun pituus.
B27:ssa kolmion pinta-ala
C27:ssa vaakapituus
D27:ssa tilavuus
C27:ssa siis kolmioiden jälkeen jäljelle jäänyt putken määrä, joka pitää tietenkin jakaa vielä tasan kolmen putken kesken.
Olkoon päätykolmion kylki a ja rakennelman pituus b ja harjakulman puolikas u. Oletan, että päädyssä ei ole alasivua joten päätysivuja on 4 ja räystään pituisia sivuja 3. Harjakulman puolikas on u.
V = 1/2 a cos(u) * 2 a sin(u) * b = 1/2 a^2 b sin(2u) ja 4a 3 b = 36.
Tarkastellaan funktiota
f(a,b,u) = 1/2 a^2 b sin(2u) - k(4 a 3 b - 36)
df/da = ab sin(2u) - 4 k = 0
df/db = 1/2 a^2 sin(2u) - 3 k = 0
df/du = a^2 * b cos(2u) = 0 joten u = pi/4.
k = ab/4 = a^2 / 6 joten b = 2a/3.
4a 2a = 36 joten a = 6. b = 4
V(max) = 1/2 * 36 * 4 = 72.
Päättele itse miksi tämä on maksimi.
Ohman
Yritin laskea tuota tilavuutta, mutta en saa mitenkään arvoksi 72.
Eli jos päätykolmion sivun pituus on 6, niin saan pytagooraan kaavalla kolmion korkeudeksi sqrt(6^2-3^2)=5,1962
Kolmion pinta-ala on siis 6*5,1962/2=15,5886
Tilavuus olisi siten 4*15,5886=62,3544
Oletin siis että päätykolmio on tasasivuinen.
Harjakulma on pi/2.
Sen olematon alasivu on kolmion hypotenuusa ja sen pituus on 6 sqrt(2).Puolet tästä on 3 sqrt(2).
Kolmion korkeus on sqrt((6^2 - (3 sqrt(2))^2) =sqrt(36 - 18) = 3 sqrt(2).
V = 1/2 * 6 sqrt(2) * 3 * sqrt(2) * 4 = 4*18 = 72.
Ohman
Ok, eli päätykolmio on siis muodoltaan suorakulmainen tasakylkinen kolmio.
Juuri niin. Ohman
Tämä on kyllä mielenkiintoinen pähkäiltävä sikäli, että jos meillä nyt on se putkikasa ja siitä pitää tehdä mahdollisimman iso harjateltan kehys, niin siitä on tehtävä suorakulmainen harjakulma päätykolmiossa, jos ei ole päädyn alaputkea, mutta tasasivuinen kolmio, jos päädyssä on oltava alaputki. Harjan pituus kuitenkin molemmissa sama.
Kenellekähän hitsarille tämmöinen tulisi mieleen, ei minulle ainakaan, vaikka olenkin timpurisukua. Tässäkin ketjussa kuitenkin pari vastaajaa vastasi samantien, että tasasivuinen sen on oltava alaputken kanssa.
Minä sen oikein totesin, mutta vähän vaikeasti: http://aijaa.com/HdHR9I
Jättäisit hitsarit ja timpurit pois matemaattisen probleeman käsittelystä ja ratkaisisit annettua tehtävää. Kyllä tehtävänannossa selvästi sanottiin, että päätykolmiossa on 2 sivua.
Ohman
Ja ennenkuin joku viisastelija kysyy, miten kolmiossa on vain kaksi sivua, niin tehtävässä sanottiin "kaksi putkista rakennettavaa sivua".
Ohman
Tehtävässä voisi järkeillä myös näin:
Tilavuus V(a,b,u) = 1/2 a^2 b sin(2u). Olipa muuttujilla a ja b mitkä arvot tahansa niin
V(a,b,u) < = V(a,b,pi/4). Jos meillä on arvot a1, b1 ja a2, b2 niin
1/2 a1^2 b1 sin(2u) < = 1/2 a1^2 b1 ja jos tämä <= 1/2 a2^b2 niin V(a2,b2,pi/4) > = V(a1,b1, u).Tilavuus V saa siis suurimman arvonsa silloin kun V(a,b,pi/4) on suurin.
V(a,b,pi/4) = 1/2 a^2 b. Koska 4a 3b = 36, on b = 12 - 4/3 a ja
V = 1/2 a^2 (12 - 4/3 a) = 6 a^2 - 2/3 a^3
dV/da = 12 a - 2 a^2 = 0 joten a = 0 tai a = 6. a= 0 ei tule tässä kyseeseen joten valitaan a = 6 jolloin b = 12 - 4/3 * 6 = 4.
d^2 V / da^2 = 12 - 4a ja tämä on < 0 kun a = 6 joten tuo a = 6 antaa maksimiarvon. Sama näkyy tietysti siitäkin että dV/da vaihtaa merkkinsä plussasta miinukseksi kun a kasvaa arvoa 6 pienemmästä arvosta kuutta suuremmaksi.
Ohman
Onhan se järkeilemälläkin selvää että jos alaputkea ei ole, päätykolmion harjakulma voidaan optimoida erikseen; harjakulman muutos ei vaikuta putkien pituuteen. Mutta jos on alaputkikin, harjakulman pienentäminen lyhentää alaputkea, minkä avulla voidaan kasvattaa kehikkoa pituussuunnassa. Mutta silloin tulee kolmen muuttujan optimointi, kuten aeijan laskelmassa.
No enkös minä juuri tuon järkeillyt? Tosin matemaattisesti sanallisen sepustuksesi sijasta. Onko sanallinen sepustus siis mielestäsi parempi kuin eksakti matemaattinen esitys vai miksi tuo kommentti?
Ja tehtävässä ei ollut "alaputkea". Mutta saaahan sitä tietysti ratkoa ihan muitakin tehtäviä kuin annettuja.
Ohman
Tähän nyt tietysti kuuluu jatkokysymyksenä, että jos ilman kumpaakaan alaputkea harjakulma on 90 astetta ja molempien päätyjen alaputkien kanssa 60 astetta, niin paljonko harjakulma on siinä tapauksessa, että tehdään alaputki vaan toiseen päätyyn ? Ja paljonko ovat sivun pituus ja sitten se harjan pituus?
Tämä tehtävä on täysin triviaali ja ratkaistavissa samoilla menetelmillä oli niitä putkia nyt missä tahansa. Kuka piru tuommoisia "jatkokysymyksiä" viitsii ratkoa?
Vai oliko tuo kommenttisi vitsi?
Ohman
Tässähän on kaksi ns. "tarkistettavaa" mittaa.
Noissa kahdessa em. tapauksessa harjan pituus säilyy, eli on molemmissa 4.
Harjakulma muuttuu 90 → 60 astetta.
Nyt kyllä ainakin minua kiinnostaa , että säilyykö harjapituus edelleenkin =4 , ja olisiko mahdollisesti kulma jopa 75 astetta ?
Ja siinä ei auta muuta kuin vain laskea, käykö näin.
Minä en tuota triviaalia pysty suoraan näkemään. (Eikä ne toteudukaan (suom.huom))
Laskin mielenkiinnon vuoksi tuota variaatiota jossa on vain toisella puolella kolmion alaputki, soveltaen Lagrangen menetelmää, joka on esitetty aeijan viestissä 18.10. klo 17:18. Kun on 2x eikä 4x sidosyhtälössä, päädytään yhtälöön:
3x^4 4x^4 - 9x^2y^2 = 0
Sen ratkaisuiksi saadaan: x=0,737y ja x=1,568y
Näistä ensin mainittua soveltaen saadaan harjakulmaksi 2*tan0,737 = 72,8 astetta, mikä sopii hyvin kahden aiemmin lasketun tapauksen välimaastoon (suorakulmainen kolmio ja tasasivuinen kolmio). Sen sijaan tuo toinen tapaus, joka antaa harjakulman 115 astetta, on outo. Luonnollista olisi että rakennelman tilavuus edellä lasketun maksimin jälkeen pienenee eikä huippua tai edes "tasannetta" esiinny. Laskemia läpi käytäessä näyttäisi siltä että se tulee kun neliöjuuren negatiivista versiota korotetaan toiseen potenssiin eli on feikki. Kun x>y, ääriarvoja ei voi esiintyä.
Joo , mulla taisi tulla lisäksi sivun pituudeksi noin 5, joka olisi tasan viitenä ollut kutosen ja nelosen keskiarvo. Harjan pituudeksi taisi tulla 3,22 m. Alaputken pituus oli rullamittatarkkuudella 6. Muistaakseni.