Kompleksilukujen x_1, x_2, x_3 ja x_4 summa on 1, neliöiden summa 2, kuutioiden summa 3 ja neljänsien potenssien summa 4. Etsi (auki kirjoitettu) neljännen asteen polynomi p(x), jonka korkeimman asteen termin kerroin on 1 ja jonka juuria kompleksiluvut x_1, x_2, x_3 ja x_4 ovat.
Polynomiprobleema
Polynomix
9<50
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
Helpointa ratkaista Newtonin identiteettien avulla
https://en.wikipedia.org/wiki/Newton's_identities
Heti näkee, että kannattaa hakea liittolukujuttuna, eli: (näkee koska toisten potenssien summa on reaaliluku)
x1=a bi
x2=a-bi
x3=c di
x4=c-di
en todellakaan ala noita potensseja pyöritellä, mutta sen verran alkua väänsin, että se polynomi on luultavasti x^4-x^3 2x^2-3x 4=0. Niin kuin onkin (suom.huom)
Ei ole kyllä toi polynomi, vaikka ensin niin luulinkin... kun noi isoimmat termit täsmäsivät.
Nimimerkki 'NoinSeOn' on oikeassa ja mitä ilmeisimmin jossain määrin perehtynytkin asiaa. Nimimerkki 'liitonarkkitehti' on hukannut kurssinsa...
Tämä on kala pappua sivulta http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Newton's_Sums löytyvillä kaavoilla:
Olkoon polynomi x^4 a_3x^3 a_2x^2 a_1x a_0. Tällöin juurten potenssien summille on voimassa
P_1=x_1 x_2 x_3 x_4=1
P_2=x_1^2 x_2^2 x_3^2 x_4^2=2
P_3=x_1^3 x_2^3 x_3^3 x_4^3=3
P_4=x_1^4 x_2^4 x_3^4 x_4^4=4
Newtonin–Girardin kaavoista seuraa yhtälöt:
P_1 a_3=0
P_2 a_3P_1 2a_2=0
P_3 a_3P_2 a_2P_1 3a_1=0
P_4 a_3P_3 a_2P_2 a_1P_1 4a_0=0
eli
a_3=-1
2 a_3 2a_2=0
3 2a_3 a_2 3a_1=0
4 3a_3 2a_2 a_1 4a_0=0
Siis
a_4=1
a_3=-1
a_2=(-2-a_3)/2=(-2 1)/2=-1/2
a_1=-1-2/3a_3-a_2/3=-1 2/3 1/6=(-6 4 1)/6=-1/6
a_0=-(4a_4 3a_3 2a_2 a_1)/4=-(4-3-1-1/6)/4=1/24
jolloin kysytty polynomi on
x^4-x^3-x^2/2-x/6 1/24
Tohon jäi typo. Poista kohta a_4=1.
Sen saa laskettua ilman noita Newtonin identiteettejäkin, jos vain sitkeyttä riittää.
Siinä tulee hiukan vaikeutta sillä kohtaa kun pitää muodostaa noiden neljän juuren tulo, sehän on tuon polynomin viimeinen eli vakiotermi 1/24.
Siitä herääkin sitten se varsinainen kysymys, että päteekö yleisestikin, että neljännen asteen yhtälön vakiotermi on juurten tulo, jos neljännen asteen x- termin kerroin on 1 ?
Sehän tulee siine hännille kertolaskusta (x-a)(x-b)(x-c)(x-d), jossa a,b,c ja d ovat niitä juuria.
Laitetaan se nyt tähän yleisön pyynnöstä huolimatta, ettei jää vaan puheeksi. Näitä tulee pari liuskaa, on se sen verran työläs kuitenkin, vaikka hyvin suoraviivaisesti meneekin:
http://aijaa.com/bAjCnx
Sitten siihen jatkoa: http://aijaa.com/Bf9Rx8