Kurssin vanha tenttikysymys, johon en oikein saa otetta. Lieneekö joku luento jäänyt väliin. Tentti tammikuussa. Kunhan vinkkiä, niin kiitos!
Jatkuvien satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfunktio on
f(x,y) = xy, kun 0 < x,y < 1, ja f(x,y) = 0 muutoin.
Laske x:n ja ja y:n välinen korrelaatio.
Jatkuvien satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfunktio on
f(x,y) = xy, kun 0 < x,y < 1, ja f(x,y) = 0 muutoin.
Laske x:n ja ja y:n välinen korrelaatio.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Tunnet hyvin suomalaista folklorea (vs. Laiska-Lassi), mutta parikin luentoa on tainnut jäädä väliin. Taitaa olla joku tilastotieteen tai todenäköisyyslaskennan cum laude - kurssi .
Funktio on symmetrinen x:n ja y:n suhteen, joten odotusarvot ja varianssit ovat samat. Korrelaatio = kovaranssi/keskihajontojen tulo. [Integraalit seuraavassa 0:sta 1:een]
Odotusarvo E(x) = ∫(∫x²y dx)dy ) = E(y).
Varianssia varten E(x²) = ʃ(ʃx³y dx)dy . Varianssit D²(x) = E(x²) - [E(x)]² = D²(y).
Kovaranssia varten E(xy) = ʃ(ʃx²y² dx)dy. Kovaranssi on Cov(x,y) = E(xy) - E(x)E(y).
Korrelaatio on ρ =Cov(x,y)/D(x)D(y) = 6/7 pikaisen laskentani mukaan. Ahkerana Lassina saat integroida itse. Toivottavasti ei sattunut tuloksessa laskuvirheitä; idea menee kutenkin noin.
Kannattaa opetella tarkastamaan jokainen välivaihe kunnolla. Silloin laskuvirheitä ei voi jäädä.
Kiitos kovasti! Sain nyt parin puuttuvan luennon muistinnpanot kaverilta ja siellähän asia oli. Sain saman tuloksen:
Turhaanpa kiittelet. Tehtäväsi on virheellinen. Tiheysfunktio ei voi olla tuo antamasi f(x,y) = xy, sillä tämän integraali koko avaruuden yli on 1/4 vaikka sen tulisi olla 1. Sensijaaan tuo tf. saattaisi olla 4 xy.
Tällöin E(X) = Int(0 <= y <= 1) (0 <= x <= 1) (4 x^2 y dx dy) = 2/3.
Myös E(Y) = 2/3.
E(X^2) = Int ( ) ( ) (4 x^3 y dx dy) = 1/2
E(Y^2) = 1/2
Var(X) = Var(Y) = 1/2 - 4/9 = 1/18
E(XY) =4/9
Cov(X,Y) = E(XY) - E(X) E(Y) = 4/9 - 2/3 * 2/3 = 0
Korrelaatiokerroin on Cox(X,Y) / sqrt(Var(X) * Var(Y)) = 0.
Silloin kun X ja Y ovat riippumattomia niiden korrelaatiokerroin on 0. Mutta siitä, että tuo kerroin on 0 ei voi päätellä että X ja Y olisivat riippumattomia. Jos niillä on kaksidimensioinen normaalijakauma niin ne ovat riippumattomia kun korrelaatiokerroin on 0 mutta sellaisestahan jakaumastahan tässä ei ole kyse.
Joulua!
Ohman
Todettakoon vielä näin tapaninaamun kunniaksi, että tässä tapauksessa siis nuo muuttujat X ja Y ovat tosiaan riippumattomia ja siksi tuo korrelaatiokerroin on 0.
Ahkera-Lassille vielä: Satunnaismuuttujat ovat X ja Y mutta x ja y ovat niiden arvoja.X ja Y ovat kuvauksia jostain tn-avaruudesta reaaliluvuille R.Ei siis lasketa "x:n ja y:n välistä korrelaatiota" vaan X:n ja Y:n välinen korrelaatio.Noita satunnaismuuttujia voisi kutsua ihan eri nimillä, esim. U ja V jolloin olisi ehkä selvempää että kirjoitetaan P(U <= x) jne.
Ei myöskään voi kirjoittaa E(x), Cov(x,y) jne. vaan oikeat merkinnät ovat E(X), Cov(X,Y) jne.
Ja lopuksi se riippumattomuus. Kun oletan, että se oikeasti tarkoitettu tiheysfunktio on f(x,y) = 4xy kun x ja y kuuluvat suljettuun väliin (0,1) ja muualla f(x,y) = 0, jolloin koko avaruuden mitaksi tulee 1, niin kertymäfunktio on
F(x,y) = P(X <= x, Y <= y) = Int(0 <= u <= x) (0 <= v <= y) (4 u v du dv) = x^2 y^2.
F1(x) = P(X <= x, Y <= 1) = x^2 ja F2(y) = P(X <= 1, Y <= y) = y^2.
Näin ollen F(x,y) = F1(x) F2(y) joten X ja Y ovat riippumattomat.
On myös niiin että f(x,y) = 4 x y = (2x) (2y) = f1(x) f2(y) missä f1 ja f2 ovat ne reunatiheydet:
f1(x) = Int(0 <= y <= 1) (4 xy dy) = 2x * Sij(0,1) y^2 = 2x ja vastaavasti f2(y) = 2y.
Mahtaneeko Ahkera-Lassi edes lukea tätä mutta saattaahan tämä jollekin muulle opiskelijalle olla hyödyksi.
Ohman