Mitä tarkoittaa ns. kontinuumihypoteesi?

Kontinuumihypoteesin mukaan ei ole olemassa sellaista joukkoa, joka olisi mahtavampi kuin numeroituvasti ääretön joukko, mutta vähemmän mahtava kuin tämän numeroituvasti äärettömän joukon potenssijoukko, eli sen kaikkien osajoukkojen joukko.

Voidaan vielä konkretisoida: Ei ole olemassa sellaista joukkoa, joka olisi mahtavuudeltaan aidosti kokonaislukujen joukon ja reaalilukujen joukon välissä.
(tässä esimerkkeinä numeroituvasta joukosta ja ylinumeroituvasta joukosta siis ovat kokonaisluvut ja reaaliluvut).
Kontinuumihypoteesia ei ole (ainakaan vielä) pystytty todistamaan oikeaksi tai vääräksi, siis ei ole varmaa, pitääkö se paikkansa.
Mainittakoon vielä, että esimerkiksi lukujen 0 ja 1 välissä olevien kaikkien rationaalilukujen ns. Lebesquen mitta (kuvaa tuon numeroituvan joukon mahtavuutta) on tasan 0, mutta saman välin kaikkien reaalilukujen Lebesquen mitta on 1. Reaalilukujen mahtavuus on siis aivan toisella tasolla kuin kaikkien rationaalilukujen mahtavuus vaikka rationaalilukujakin on "äärettömän" tiheässä.

Kontinuumihypoteesista tiedetään seuraavaa:

1 Kontinuumihypoteesin negaatiota ei voi johtaa joukko-opin muista aksioomeista jos nämä aksioomat ovat konsistentit (Gödel).

2 Kontinuumihypoteesia ei voida johtaa joukko-opin muista aksioomeista jos nuo aksioomat ovat konsistentit (Cohen).

Konsistenssi tarkoittaa, että aksioomeista ei voida johtaa ristiriitaa eli ei ole mitään lausetta P joka olisi sellainen että sekä P että ei-P voitaisiin todistaa.

Tässä tarkoitetaan nykyisin käytössä olevia aksioomeja Tietysti voitaisiin ottaa lisää aksioomeja ja ehkä todistaa kontinuumihypoteesi tai sen negaatio. Esim. valitsemalla jompi kumpi uudeksi aksioomaksi olisi tuo samalla todistettu, sehän olisi peräti aksiooma.

On matemaatikkoja joiden mielestä kontinuumihypoteesi on niin perustavaa laatua oleva matemaattinen lause että se pitäisi voida osoittaa oikeaksi tai sitten vääräksi.Eli heille ei riitä se, että tuo lause on muista aksioomeista riippumaton.Toisaalta on sellaisia joiden mielestä kokonaislukujen joukon kaikkien osajoukkojen joukko on huonosti määritelty ja siksi kontinuumihypoteesi on epäselvä.

Ohman